一元二次方程教学课：教学手记认识一元二次方程
一元二次方程教学课：教学手记认识一元二次方程30秒60秒②一个直角三角形的两条直角边分别为y和(y 1)，斜边为5，你能列出什么方程？③一个正方形的边长为m，面积为16，你能列出什么方程？给你一分钟，开始！
相信在七八年级的时候，你已经学过好几种方程了，比如一元一次方程、二元一次方程组、还有分式方程。这节课开始，咱们聊聊一种新的方程，一元二次方程。
什么叫一元二次方程？
先来回答三个小问题：
①一个长方形的长为(x 1)，宽为(3x-1)，面积为9，你能列出什么方程？
②一个直角三角形的两条直角边分别为y和(y 1)，斜边为5，你能列出什么方程？
③一个正方形的边长为m，面积为16，你能列出什么方程？
给你一分钟，开始！
60秒
30秒
10秒
......
核对一下，你的答案是否跟我的一样？
①(x 1)(3x-1)=9；
②y² (y 1)²=5²；
③m²=16.
下面我要提问了：请观察三个方程，它们在结构上有什么共同点？
没看出来，对吗？
不急，咱们先用过去解方程的知识，把它们处理一下：
①3x² 2x-10=0；
②y² y-12=0；
③m²-16=0.
现在再来观察，它们在结构上有什么共同点？
第一，只有一个未知数。
第二，等号右边都是0。
第三，等号左边都是一个数乘以未知数的平方，用ax²表示；加另一个数乘以未知数，用bx表示；再加第三个数，用c表示，也就是说，这三个方程的结构都是ax² bx c=0。
有人可能对m²-16=0表示质疑，其实它的等号左边可以看成1乘以m²，加0乘以m，再加-16，也就是m² 0m-16=0，只不过是中间的0省略不写而已。
根据观察，上面三个方程都只有一个未知数，并且可以化成什么ax² bx c=0的形式，这样的方程我们过去还没学过，不妨把它们归为一类，给个名字，就叫做一元二次方程吧！
这里的“一元”指的是只有一个未知数，“二次”指的是未知数的最高次数是2。
这样描述一元二次方程，够不够严谨呢？来看几个式子，请快速判断它们是不是一元二次方程：
①x² y-1=0；
②m³ 2m=3；
③2x² 3x 1；
④x² 4²=(x 2)²;
⑤1/y y=1.
有答案了吗？一起来核对一下：
①x² y-1=0中不止一个未知数，所以不是一元二次方程；
②m³ 2m=3中，未知数m最高次数是3，所以不是一元二次方程；
③2x² 3x 1没有等号，连方程都算不上；
④x² 4²=(x 2)²有点像一元二次方程，但如果把右边的括号去掉，再移项、合并同类项，会发现x²消失了，x的最高次数只有1，所以也不是一元二次方程;
⑤y-2 1/y=0只有一个未知数，而且两边同时乘以y的话，会变成y²-2y 1=0，但我们更习惯把它归为分式方程，而不是一元二次方程。
从这组式子看出，我们刚才对一元二次方程的描述，还要加两个细节：一是分母不能含有未知数，否则就是分式方程了；二是化成ax² bx c=0的形式后，a不能等于0，否则未知数的最高次数是1，就是一元一次方程了。
把这些信息整理一下，就能得到课本给出的定义：
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax² bx c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
这里的ax² bx c=0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，其中ax²，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a和b分别称为二次项系数和一次项系数。
定义告诉我们，要想判断一个方程是不是一元二次方程，一看未知数的数量，二看分母有无未知数，三看它能否化成一般式。
那么，给你一个一元二次方程，怎样把它化为一般式呢？
一般式的结构有三个特点：
①有等号；
②等号右边等于0；
③等号左边依次为二次项、一次项、常数项。
我们用一个例子来说明，如何让一个一元二次方程满足这三点。
(3x 2)²=4(x-3)
①先写等号，这可不能省；
②把4(x-3)移到左边，这样右边就等于0了；
③左边去括号，合并同类项，按二次项、一次项、常数项的顺序排好，化一般式就完成了。
一句话，把一元二次方程化一般式的思路，就是右边移项归零，左边化简排序。
有时，我们需要用到一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，那么在找它们之前，最好先把方程化成一般式，否则容易出错。
举个例子，关于x的方程mx²-2x 3=x²，有的同学一看就脱口而出：“二次项系数是m，一次项系数是-2，常数项是3。”这就不对了，因为它还不是一般式，其实化一般式之后，方程变为(m-1)x²-2x 3=0，就能发现，二次项系数不是m，而是(m-1)。
小结：
1.只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax² bx c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2.把一元二次方程化一般式的思路，就是右边移项归零，左边化简排序。
3.要想找到一个一元二次方程的二次项、一次项和常数项，最好先把它化成一般式，否则容易错。
