理想积分在哪里用（我开的小平邦彦微积分讨论班）

理想积分在哪里用（我开的小平邦彦微积分讨论班）小平邦彦写的教材，从小学的《新算术》，到高中的《新订数学》，再到大学的《解析入门》、《复素解析》、《复素多样体论》，再到研究论文专题文献等，这里没有提到初中的教材，是因为我没有找到小平邦彦写的初中教材，日本曾经用过的初中数学教材是数学家弥永昌吉写的，不过这也不妨，弥永昌吉和小平邦彦在著书上也是一对黄金搭档，合作写过书。作为世界顶级的数学大师，小平邦彦如此倾力于初等数学教育，这是在他所在的层次绝无仅有的，从这个角度上来说，世界上没有人在数学教育的体系性和衔接性上做得比他更好了。 要达到这个境界，以我现在的眼光来看，除了读小平邦彦的书之外，别无他法。你们听了我的课，看了我写的讲义，就会体会到，这是把课文熟读之后，再思考所获得的成果。那么学习和思考的过程和方法，不限于学习数学，物理、化学、生物，甚至是文科类的课程，依然有适用的空间。你们也许会思忖，同样是一本书，我可以给你们讲得如此深入，那么我肯

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作者：候尚庶博士， 哆嗒数学网群友。

本文是一位老师给他学生的公开信。老师的初衷是想让学生们多学一点，于是在暑期免费开了小平邦彦的《微积分入门》的讨论班。但刚开完一节，有人就顶不住了，纷纷请假。理由无外乎是要打工、旅游、家中事务等。这位老师为了让这个班能继续下去，写下了如下的话。

各位同学：

此时正进入到讲授小平邦彦的《解析入门I》的关键时刻，刚讲完第一节的序言，也就是衔接现有的知识和以后要学的知识的阶段，从1.2开始，严密性和分析性的要求远高于之前我们所学过的知识。一篇序言，我都写出了四篇讲义，那么你们应该想见，在以后的学习中，正文中还有多少知识要我们来思考和学习。而后面的问题，按照我的想法，写出来的讲义是有限的，最重要的是在于你们自己要熟读课文和反复思考。染和酿的效果是不同的，一个是从外到里，用久了会褪色；而另一个是从里到外，越陈越香，我和你们说过，只要你们认真把书读熟了，思考了，哪怕就是你们自己独立思考明白这个书上的一个问题，或者是至少你们知道这本书上有哪些是不明白的，我就能和你们讲清楚。我也告诉过你们，这本书我只会给你们讲前20面，那么就会有两种结果：第一，读明白了，那会有一种自信心爆棚的感觉，这本书我可以靠自己读懂了；第二就是中途学不明白了，那会像垮山一样的崩溃。只要你读明白了前20面，课本上的知识再也没有你学不懂的了，读明白第一章，数学分析能力可以横扫全校，再说远一点，如果能把第一卷读完，那你完全有能力去拿一条板凳，和你们自己的老师坐在同一张桌子上去谈经论道。我还和你们反复说过，真正的高手不是在于参加了多少补习班，也不是在于做了多少难题，而是在于只要把课本读懂，自己就能够把什么问题都想明白，题目可以拿在手里当把玩意。到那个时候，题目的作用不再停留在考验那些知识还没有掌握，而是在于看看哪些问题别人已经想到，而你没有想到。所以必须要你自己去主导题目，而不能让题目来主导你，那样的话，你就是题目的奴隶。

你们似乎很在意考试成绩。你们应该明白，考试是那帮命题人绞尽脑汁弄出来的一批试题，里面总有些题目是新的，那么遇到新的题目时，我们就必须有自己可行、可靠的思维方法去分析和解答它。我曾经说过，技巧不可靠，分析是王道，懒惰最可耻，后悔一辈子。但是我从未说技巧不重要，我说高手可以把题目拿在手里当玩意，但是我也从来没有说过不要做题。究其本意，在于，不管技巧有多花俏，必须以分析作为基础，也就是你必须保证你用了优美的技巧做出来的题，必须是正确的，而不是错误的，如果是错误的，你的技巧再优美，还是得分不到，这就必须以扎实的基础知识，还有清晰明白的分析过程来考察你的解题方法是否正确。然后，在达到高手那个层次之前，要通过做题来巩固知识，做题的过程中要思考，思考这个知识是这么用的同时，也要思考我在读书的时候要怎么展开想象，主动思考，在考题出现之前，就想到这个知识点在此处的应用，从而未雨绸缪。

要达到这个境界，以我现在的眼光来看，除了读小平邦彦的书之外，别无他法。你们听了我的课，看了我写的讲义，就会体会到，这是把课文熟读之后，再思考所获得的成果。那么学习和思考的过程和方法，不限于学习数学，物理、化学、生物，甚至是文科类的课程，依然有适用的空间。你们也许会思忖，同样是一本书，我可以给你们讲得如此深入，那么我肯定是参考了其他的教科书，或者是请教了其他的老师才达到这个样子的，对于这一点，我也不否认，但是你们应当知道，我去参考其他的教材，请教别的老师，这也是一个学习的过程，别人代替不了我，而且最重要的是，当我通过其他途径弄明白一些问题后，再回过头来看时，我发现其实小平邦彦大师已经在他的书上写得清清楚楚了，只是我当时没看明白，没仔细去想而已。这并不是对于小平邦彦的书有所过誉，而是他的书实际就有这么巨大的作用，我还是用极为保守的语言来形容的。

小平邦彦写的教材，从小学的《新算术》，到高中的《新订数学》，再到大学的《解析入门》、《复素解析》、《复素多样体论》，再到研究论文专题文献等，这里没有提到初中的教材，是因为我没有找到小平邦彦写的初中教材，日本曾经用过的初中数学教材是数学家弥永昌吉写的，不过这也不妨，弥永昌吉和小平邦彦在著书上也是一对黄金搭档，合作写过书。作为世界顶级的数学大师，小平邦彦如此倾力于初等数学教育，这是在他所在的层次绝无仅有的，从这个角度上来说，世界上没有人在数学教育的体系性和衔接性上做得比他更好了。

与之相似的还有一个20世纪伟大的苏联数学家，他叫柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov），他经常在莫斯科大学主办的全苏数学冬令营中授课，但是你们要知道，莫斯科大学的数学，当年是可以和美国的普林斯顿大学分庭抗礼的，那是世界范围内数学教育和研究最顶尖级的两所名校，苏联学生素以基础扎实，能力强悍，数学物理都能胜任而闻名，他们设有类似于我国艺术专门学校之类的数理专门学校，里面竞争异常激烈，只能用残酷来形容，淘汰率极高。可以想见，能进莫斯科大学冬令营的学生有多强悍。中国在五十年代全面学习苏联，有不少学生到苏联去留学过，但是迄今为止，在莫斯科大学拿到数学博士学位的，仅有三人，一个是已故的著名数学家谷超豪，一个是中科院现任数学研究所所长周向宇，周向宇是八十年代后期，中苏关系缓和之后去苏联留学的。还有一个我不记得名字了，但他早已经不在国内了。那么，在数学基础教育的普及上，小平邦彦做出的贡献有多大，他的著作，是留给人类文明的一大笔宝贵的遗产。

读小平邦彦的书，只要具备最基础的简易逻辑和集合的知识，根本不用再去参考其他的资料，他的书自成体系，却又博大精深，里面的知识环环相扣，你在读书的过程当中，必须把前文的知识真正读明白，才能去学习后面的知识，文中仅有的几个超纲的名词，对于书里知识的理解都不起明显的阻碍作用了。那么，他写的书，都是在尽力让别人思考，而思考以后，都能学明白的。在教学中，小平大师要求学生对基础知识的领悟和应用达到极限的程度，他的书的第一章，实数，其实已经是实分析的基础理论了，实分析是大学数学专业高年级三大分析课之一，还有两门是专门研究复数的复分析和专门研究函数的泛函分析。而小平邦彦大师写的能让读完高一的学生就能看懂。我在很多面对的读者层次远高于《解析入门I》的数学书中看到过本书中所提到的知识点，其他的书当然应当写得比这本书中写得深奥和详细，但是从思想上来说，绝无可能比小平邦彦大师的著作更深邃了，同时也更无可能比小平邦彦大师的著作更精彩了。所以，这本书只要高一读完了，就可以读，本科生可以读，研究生亦可以读，学生应该读，老师更应该读。在读的过程当中，就能得到提高。所以，你不要认为你基础不好，也不要认为你数学思维能力不强，因为我们世人（一般的普通人）的数学基础和能力的差别，在以数学之神的形式而存在的小平邦彦大师的眼里，那就像我们看一只蚂蚁的体长是6.3毫米还是6.25毫米的差别一样，这个差别其实并无实质上的意义，而小平邦彦大师由此就为我们提供了一个适应口径最宽的学习数学的方法，那就是他在晚年，把他毕生所学倾注在一本高中生就可以看懂的解析教材上，我们只要按照正确的方法努力去读，就能读懂，而读懂之后，就会知道怎么去应用，别人能够想到的，你也能想到，甚至很多别人想不到的，你都能想到。从熟读到思考，从思考到应用，再从应用到领悟，这就是“分析是王道”这一句话在这首顺口溜，或者说打油诗中的含义，当你们真正明白这句话的含义时，你们可以感受到，存在于课本上知识，以肉眼可见的形式进入你的头脑里面，然后自动相互作用，相互结构，成体系的表示出来，一个知识点就能照亮它所适用的范围，再遇到所谓的难题，能够像千手观音一般，伸出解决这个问题最娴熟的那只手来轻松应付。

当你拿起这本书的时候，翻开大略浏览一下，也会觉得里面字也是字，纸也是纸，如果你真的深入去品读，越读深入，就越会发现这本书的内涵，当你发现自己在知识和能力上已经收获满满时，这本书还如一潭潇潇清泉，里面的宝藏依然取之不尽用之不竭。

小平邦彦大师已经作古多年，但是，他的思想依然鲜活的存在于他所著的每一本书中，只要认真去读，就能以这本书为窗口，超越时空，聆听这位远去的大师在字里行间对我们以睿智而朴实的方式讲授的知识，握住他那双温暖的大手，他在天国向每一位愿意学好数学的后辈投来期盼的目光，他其实从未远去。

《解析入门》国内翻译的名称是《微积分入门》，在翻译的评价上，我个人觉得略有矛盾，总的来说，语言平和通顺，大方向正确，但是符号的错误还是有一些的。经过仔细思考可以校正一些，我是托人从日本买来原版勘误的。此书曾得到武汉大学前校长，数学家齐民友教授的极力推崇，但是由于种种原因，2008年出版之后，没有再版，应该是知道的人不多，这本旷世经典没有得到应有的崇敬，也没有发挥出应有的价值。希望我写的这篇小文，能告知一些想学好数学的同行者，加入到和我一起呐喊呼吁的行列中来，期盼相关出版社能仔细校勘那些翻译和排版印刷的错误，并积极筹备再版。

在此怀念并感恩小平邦彦大师。

此致

祝大家学业有成。

爱你们的讨论班主讲人

2017.7.10

后记：《解析入门》在日本的出版商为岩波书店，这是一家有百余年历史的著名书店，在工具辞书，自然科学书籍和社会科学书籍的出版领域享有盛誉，这家出版社尊重中国的主权和领土完整，出版物中承认一个中国，台湾是中国的一个省。首任社长岩波茂雄先生曾致力于推动中日之间的文化交流，在日本侵华战争期间，尽力倡导反战运动，向中国赠书的计划也因战争而隔断，他的继任者于1947年开始继承他的遗志，向中国赠书并延续至今。除了促进中日的文化交流外，也打开了两国互赠图书的良好风气。

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