一阶逻辑的完备性（一阶逻辑简介）
一阶逻辑的完备性（一阶逻辑简介）排中律：命题值 只能 是 T 或 F；注：☆ 含有两层意思，称这些判断句为命题。命题常常会被验证，逻辑学要求，验证有明确的结果，即：命题的验证结果 被称为 命题的 逻辑值，显然，真（记为 T） 和 假（记为 F）是唯二的逻辑值。值为真的命题 称为 真命题，值为假的命题 称为 假命题。
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小石头/编
（由于，在科普数学过程中，会经常用到 一阶谓词逻辑语言，所以 写一篇文章，对其进行简单的介绍。这里的目标是，数学中够用，所有并不会涉及《模型论》和《证明论》部分。）
我们在日常生活中经常需要做判断，例如：
- 老张是狐狸公司的CEO。⑴
称这些判断句为命题。
命题常常会被验证，逻辑学要求，验证有明确的结果，即：
- 要么命题是真实的，要么命题是虚假的；☆
命题的验证结果 被称为 命题的 逻辑值，显然，真（记为 T） 和 假（记为 F）是唯二的逻辑值。值为真的命题 称为 真命题，值为假的命题 称为 假命题。
注：☆ 含有两层意思，
排中律：命题值 只能 是 T 或 F；
矛盾律：命题值 不能 同时是 T 或 F；
有一些命题会包含其它命题，例如：
命题，
- 老张有钱并且会物理。⑵
就包括两个命题，
- 老张有钱；⑶
- 老张会物理。⑷
我们称这类命题为 复合命题，而不是复合命题的命题则被称为 原子命题，如前面上面的 ⑴，⑶ 和 ⑷ 都是原子命题。
复合命题都是通过 联词 将其所包含的命题关联起来而构成的，例如，⑵ 是通过 “...并且...” 连接⑶和⑷而而成。自然语言中，有多个联词表示同一个关联关系，例如，⑵ 还可以写成：
- 老张既有钱又会物理。⑵‘
联词 ”既 ...又...“ 和 “...并且...” 都是并列关系，功能相同。为了表述的一致，我们用 逻辑符号 ∧ （称为和取） 来表示 “...与...”、 ”既 ...又...“ 、“...并且...” 等。若再令
A = ⑶ B = ⑷
则 复合命题 ⑵ 和 ⑵‘ 可统一写成：
A ∧ B
这样我们就得到了逻辑语言的一个公式。除了析取外，日常交流中常用的联词还有很多，我们也对它们接引入逻辑符号来表示：
- 析取 ∨，表示 “或”、”或者“、”要么...，要么..“ 等；
- 否定 ¬，表示 “非” 、"不是”、“并非” 等；
- 蕴含 →，表示 “如果 ...，那么 ...”，”若... 则 ...“ 等；
- 等价 ↔， 表示 ”当且仅当“ 等；
比较原子命题：
- 老马有钱；⑶’
和 ⑶ 我们发现 它们的谓语部分是相同的，只有 主语 不同，于是我们可以 将 主语替换参数 x ，得到：
- x 有钱
若令，
P(x) = x 有钱，A = (3)，B = (3)'
则显然有，
P(老张) = A，P(老马) = B
称 这样的 P(x) 为谓词。谓词 也可以是多元的，例如，对 ⑴ 引入参数，得到谓词：
Q(x y) = x是y的CEO
就是一个二元 谓词。从元数来看，位引入参数化的原子命题，例如上面的 A、B，可以认为是 零元谓词。
注：一元谓词P(x) 参数两边的 括号 可以省略不写，记为 Px。
量词也在日常交流中常常被用到，例如：
- 所有人都会回死；⑸
- 总有人是天才； ⑹
我们 用 ∀（称为 全称量词） 表示 ”所有...“、”任何...“、”任意...“ 等， 用 ∃（称为 存在量词） 表示 ”有...“、”总有...“、”存在...“ 等。
注：∀ 为 Any 的首字母 A 上下颠倒得到，∃ 为 Exist 的首字母 E 左右翻转得到。
于是令，
P(x) = x 是人，A(x) = x 会死，B(x)=x是天才
则 ⑸ 和 ⑹ 分别表示为：
∀x(P(x)∧A(x)) ⑸'
∃x(P(x)∧B(x)) ⑹'
注：在数学中，∀x(P(x)∧A(x)) 也被写成 ∀x P(x)∧A(x) ，这样可以省一层 括号，看着清爽。
最后，复合命题可能有多层嵌套，例如：
- 并非所有人都是天才
这时改写成 逻辑语言 时，需要使用 括号 进行分层，例如：
¬(∀x(P(x)∧B(x)))
至此，我们就得到了全部的 谓词逻辑 语言。
回头，再比较 ⑶ 和 ⑷，我们发现 它们的 主语 都是 老张，于是课将谓语参数化，得打：
- 老张 P
这样 谓词 P 就成了 变元。 这种情况，日常交流也经常遇到，例如：
- 老张有的，老马也有。
写成 逻辑公式就是：
∀P(P(老张) → P(老马))
这种将 谓词作为 变元的，称为 高阶逻辑，而 不将 谓词作为 变元的，就是本篇介绍的 一阶逻辑，也是被数学所使用的逻辑。
站在 数学的角度，联词 就是 集合 {T F} 上的 逻辑运算，由于逻辑运算的操作数只有 T 和 F 两个，于是我们可以将 全运算 情况 罗列出来，得到如下的 真值表：
从真值表中可以看出，¬ 是一元运算，其它的都是 二元运算。逻辑运算可以是任意有限元的，特别是 零元运算，定义为：
- 恒真 ⊤ = T；
- 恒假⊥= F；
注：有些书 会用 ⊤ 和 ⊥ 分别去记 真 和 假。
虽然，逻辑运算多种多样，但是它们可以 通过 有限 个 联词 的 组合来实现，能够实现所有逻辑运算 的 联词集，被称为 功能完全集。可以证明：
- 联词集 {¬ ∨ ∧ → ↔} 是 功能完全的
这也是，为什么自然语言 仅凭借 它们，就可以表达所有 逻辑，的 原因。
观察，上面真值表 中 的 p q 与 p → q 之间的逻辑关系，我们发现：
- 当 p=T 并且 q=F 时 p → q 为 F；
- 其它情况p → q都是 T；
于是有：
¬(p → q) = p∧¬q ①
进而得到：
p → q = ¬(¬(p → q)) = ¬(p∧¬q)
这种方法 称为 写假法。再观察，还发现：
- 当 p=T 并且 q=T 时 p → q 为 T；
- 当 p=F 时 p → q 为 T；
- 其它情况 p → q 都是 F；
于是可得到：
p → q = (p∧q)∨¬p
这种方法 称为 写真法。
对于任意逻辑运算，我都可以通过，写假法 或 写真法，用{¬ ∨ ∧}去实现它，例如：
p↔q = ¬((¬p∧q)∨(p∧¬q)) 或 (¬p∧¬q)∨(p∧q)
故， {¬ ∨ ∧} 是功能完全集。
对于 p∨q 和 p∧q 使用写假法，可分别得到：
¬(p∨q) = ¬p∧¬q
¬(p∧q) = ¬p∨¬q
这就是 德摩根定律，进而分别有，
p∨q=¬ (¬p∧¬q)
p∧q = ¬(¬p∨¬q)
这说明，{¬ ∨} 和 {¬ ∧} 也都是功能完全集。另外，由 ① 式，有，
¬(p → ¬q) = p∧¬(¬q) = p∧q
所以，{¬ →} 也是功能完全集。
那么，有没有一个联词的功能完全集呢？有！我们定义：
- 皮尔士箭头： p↓q = ¬(p∨q)
- 谢弗竖： p|q = ¬(p∧q)
则分别有，
p∨q = ¬¬(p∨q) = ¬( p↓q) ， ¬p = ¬(p∨p) = p↓p；
p∧q = ¬¬(p∧q) = ¬(p|q)， ¬p = ¬(p∧p) = p|p；
所以，{↓} 和 {|} 都是功能完全集，也是最小的功能完全集。
在数学上，将 F 和 T 分别看做 0 和 1，这样以来算术运算也就成了逻辑运算，例如：
p⋅q = p∧q
最后，结合数学运算，将 一元 和 二元 的所有逻辑运算汇总如下：
- 一元逻辑运算：
- 二元逻辑运算：
（好了，就写到这里了，以后想到了再补充！本篇力求简单，尽量不耗费各位的时间，希望大家有机会看到，希望看到的能喜欢！）
补充1：
大家看到 蕴含 p→q 的真值表：
F → T = T，F → F = T
可能会差异。诚然，这和我们日常言语中的感觉不同，实际上，自然语言中的，“如果 p 那么 q” 含有 逻辑推理的 意思，其相当于：
{p p→q} ⇒ q
这与 p→q 的语义 并不相同。
