疲劳曲线公式（S-N曲线与疲劳极限）

疲劳曲线公式（S-N曲线与疲劳极限）S-N曲线的测定方法包括单点法和成组法，单点法主要用来测定疲劳极限，每级应力水平下试验一根试样，结果很不准确；成组法是在每级应力水平（一般4~5级）下都试验一组（一般3~5根）试样，试验后将对数疲劳寿命的中值或均值在双对数坐标上线性回归，可得S-N曲线的斜线部分，再与由疲劳极限确定的水平线光滑相连，即可得到完整的S-N曲线。式中m和C为材料常数。σm*N=C取对数后为：mlgσ lgN=lgC

疲劳失效以前所经历的应力或应变循环数称为疲劳寿命，一般用N表示，取决于材料的力学性能和所施加的应力水平。表示这种外加应力水平和标准试样疲劳寿命之间关系的曲线称为材料的S-N曲线。由于通常都是表示中值疲劳寿命与外加应力的关系，所以也称为中值S-N曲线。典型的材料S-N曲线形式如图1所示。

图1 典型的S-N曲线形式

其中，（1）为结构钢和钛合金的典型形式，（2）为非铁金属和腐蚀疲劳的主要形式，（3）中曲线断开可能是由于裂纹尖由平面应力状态转变为平面应变状态和由穿晶破坏转变为晶间破坏（见文末Note1）等引起，（4）中的转折点一般是不同破坏区域的交界点，如循环蠕变与低周疲劳、低周疲劳与高周疲劳的交界点等。

S-N曲线的左段常用如下公式表示：

σm*N=C

取对数后为：

mlgσ lgN=lgC

式中m和C为材料常数。

S-N曲线的测定方法包括单点法和成组法，单点法主要用来测定疲劳极限，每级应力水平下试验一根试样，结果很不准确；成组法是在每级应力水平（一般4~5级）下都试验一组（一般3~5根）试样，试验后将对数疲劳寿命的中值或均值在双对数坐标上线性回归，可得S-N曲线的斜线部分，再与由疲劳极限确定的水平线光滑相连，即可得到完整的S-N曲线。

成组法测量时，当误差限度（工程上一般5%）一定时，每组的最少试样数取决于变异系数和置信度。其中，变异系数反映了疲劳寿命的相对分散性，数值越大，分散性越大，则为保证试验精度，进行疲劳试验所需的最少试样数越多。置信度一般取90%或95%，意指有90%或95%的把握说，对数疲劳寿命的均值误差不超过误差限度。

为了能由抗拉强度近似得到S-N曲线，许多学者根据已有的S-N曲线数据，对理想化的S-N曲线提出了不同建议，最具代表性的理想化S-N曲线如图2所示。

图2 理想化S-N曲线

由于疲劳试验数据的离散性，试样的疲劳寿命与应力水平的关系并非一一对应，而是与存活率p有关。要想全面表达各种存活率下的疲劳寿命与应力水平间的关系，就要用到p-S-N曲线，尤其在进行概率疲劳设计时，必须使用一族S-N曲线，每条曲线分别代表某一不同存活率下的应力-寿命关系。

几个典型符号释义：σ-1N为疲劳强度，σb为抗拉强度，σ-1为对称弯曲疲劳极限，σ-1z为对称拉压疲劳极限，τ-1为对称扭转疲劳极限。材料疲劳极限随加载方式和应力比的不同而不同，由于决定材料疲劳极限的主要因素是应力幅，所以一般都以对称循环下的疲劳极限作为材料的基本疲劳极限，又由于对称弯曲疲劳试验最为方便，所以一般都以对称弯曲疲劳极限来表征材料的基本疲劳性能。

上面说的疲劳极限指图1（1）中所示的有水平段的材料，此水平段相应的最大应力，也可定义为疲劳寿命很大时的中值疲劳强度。一般认为，像结构钢这样的试样经过1e7周次循环仍不破坏，则可以承受很多次循环而永不破坏。对于非水平区段对应的最大应力常称为条件疲劳极限，对于非铁金属和腐蚀疲劳，其S-N曲线没有水平段，但在1e7或1e8周次循环后S-N曲线趋于平坦，因此一般将此时失效时的最大应力作为条件疲劳极限，此时的循环数称为循环基数。循环基数为1e7周次时，可不作注明，其他时需注明。

通常，对于1e7周次循环时（无限寿命）的疲劳极限的测定方法主要有常规的单点试验法、小子样升降法、大子样升降法和步进法等。

此外，在室温和空气介质下，材料疲劳极限和抗拉强度之间一般有着较好的相关性，并可在一定条件下由抗拉强度近似估算疲劳极限。如根据许多学者的研究，碳钢和合金钢的σ-1可用下式近似计算：

σ-1=a bσb

其中，a，b可由试验统计或经验得出。如抗拉强度小于1400MPa的碳钢和合金钢，推荐使用以下关系式：

σ-1=38MPa 0.43σb

对于锻钢，疲劳强度和抗拉强度之间的关系可以表示为

σ-1=fσb

其中，f为疲劳比（见文末Note2），锻钢的取为0.5，但疲劳比和钢的显微组织有关，一般在0.3~0.6之间变化。

疲劳极限的影响因素主要包括三个方面：

1、加载方式：加载方式对疲劳极限的影响用加载系数表示，加载系数为不同加载方式下疲劳极限和旋转弯曲疲劳极限之比，如对于钢试样，加载方式为弯曲时加载系数为1，拉压时为0.8，扭转时为0.58；

2、截面形状：其对疲劳极限的影响用截面形状系数表示，截面形状系数为不同截面形状试样的疲劳极限与圆形试样的疲劳极限的比值，可由下表1查得：

表1 截面形状影响系数

3、方向性：由于非金属杂质的影响，锻钢和轧钢横向的疲劳性能比纵向低，横向疲劳极限等于纵向疲劳极限乘以方向性系数。钢的方向性系数在小于600MPa时为0.85，600~900MPa时为0.83，900~1200MPa时为0.8，大于1200MPa时为0.75。

还要说明的是，决定零件疲劳强度的主要应力参数除应力幅外，还有平均应力的影响，常使用平均应力影响系数将其折算成等效的应力幅。一般来说，平均拉应力使极限应力幅减小，平均压应力使其增大，平均应力对正应力的影响比切应力的影响大。平均应力对疲劳极限的影响一般用疲劳极限线图表示，常用的有两种：Smith（史密斯）图和Haigh（海夫）图，如图3所示。

图3 疲劳极限线图

其中，Smith图是以最大最小应力为纵坐标，以平均应力为横坐标，如图3左图所示，最大应力线ADC和最小应力线BEC所包围的面积表示不产生破坏的应力水平。A点为对称疲劳极限，D点为脉动疲劳极限，C点为强度极限。

Haigh图是以应力振幅为纵坐标，以平均应力为横坐标，如图3右图所示，A点为对称疲劳极限，B点为强度极限，C点的横坐标为脉动疲劳极限的一半。AC连线斜率的绝对值为应力幅小于等于平均应力时的平均应力影响系数，且自原点0引出的任意射线上的各点具有相同的应力比（最小与最大应力之比）。这种线图比Smith图更醒目，使用更为广泛。

Note1：穿晶断裂指裂纹穿过晶粒内部扩展，可以是宏观塑性断裂，也可是宏观脆性断裂，面滑移造成的滑移面分离而产生的，包括纯剪切和微孔聚合型断裂；沿晶断裂指金属材料中的裂纹沿晶界扩展而产生的断裂，断口形貌呈粒状时又称晶间颗粒断，多数情况下为脆性断裂，也有如高温蠕变断裂的韧性断裂，宏观形貌上，晶粒粗大时形成石块或冰糖状断口，晶粒较细时形成结晶状断口，颜色暗淡；

Note2：疲劳比定义为疲劳强度和拉伸强度的比值，给出此数时必须注明其平均应力和交变应力值。疲劳比越小，说明材料抵抗疲劳作用的能力越差。

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