七下数学乘法公式的拓展（七下数学乘法公式1）
七下数学乘法公式的拓展（七下数学乘法公式1）解读：首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方．文字叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．口诀：
一、概念剖析
完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
文字叙述：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍．
口诀：
首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号看前方．
解读：
1、公式左边为完全平方，右边为二次三项式．
2、右边有两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且与左边中间的符号相同．
3、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式．
4、(首±尾)2＝首2±2·首·尾＋尾2．
二、基本计算
例1：(－3m＋2n)2
分析：
本题中，首项为负，我们计算时，一般将其转化为正，利用互为相反数的偶次幂相等来转化，也可利用加法交换律．
解答：
原式＝(2n－3m)2
＝(3m－2n)2
＝(3m)2－2×3m·2n＋(2n)2
＝9m2－12mn＋4n2
变式：(－3m－2n)2
分析：
显然，本题只能用互为相反数的偶次幂相等来转化更快，且符号不易出错．
解答：
原式＝(3m＋2n)2
＝9m2＋12mn＋4n2
例2：(a＋b＋c)2
分析：
本题中是三项的和的平方，我们可以将其中两项作为一个整体，比如a＋b看作公式中的a，c看作公式中的b；也可以a看作公式中的a，b＋c看作公式中的b．
解答：
法1：
原式＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
法2：
原式＝[a＋(b＋c)]2
＝a2＋2a(b＋c)＋(b＋c)2
＝a2＋2ab＋2ac＋b2＋2bc＋c2
变式：(2a－b＋3c)2
分析：
显然，本题将2a－b看作整体更合适．
解答：
原式＝[(2a－b)＋3c]2
＝(2a－b) 2＋2(2a－b)·3c＋(3c)2
＝4a2－4ab＋b2＋12ac－6bc＋9c2
例3：1042
分析：
本题中，我们可以把104看成100＋4，则问题转化为用完全平方公式解决．
解答：
原式＝(100＋4)2
＝1002＋2×100×4＋42
＝10000＋800＋16
＝10816
变式：9.92
分析：
本题中，我们可以把9.9看成10－0.1．
解答：
原式＝(10－0. 1)2
＝102－2×10×0.1＋0.12
＝100－2＋0.01
＝98.01
三、技能提升
例1：在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的有，如能，写出化简的结果
(1) (－a＋2b)2 ( )
(2) (b＋2a)(b－2a) ( )
(3) (1＋a)(－a－1) ( )
(4) (－3ac＋b)(3ac－b) ( )
(5) (a2－b)(a＋b2) ( )
(6) ( 100－1)(100＋1) ( )
分析：
我们把(a＋b)2展开，即可写成(a＋b) (a＋b)，其中，第一个括号中的a，与第二个括号中的a相同，b也相同，可以称其为“两同”，是不是只有“两同”的情况可以用完全平方公式呢？
不止，如(a＋b)(－a－b)，a与－a，b与－b互为相反数，可以称其为“两反”，我们可以写成(a＋b)[－(a＋b)]，即－(a＋b)2，则“两反”的情况也可以用完全平方公式．
解答：
(1)可以，两同，转为(a－2b)2
(2)不可以，一同一反
(3)可以，两反，转为－(1－a)2
(4)可以，两反，转为－(3ac－b)2
(5)不可以，
(6)不可以，一同一反
例2：(6m2－5n)(5n－6m2)
分析：
显然，这是一个“两反”形式，所以可以用完全平方公式，注意前面需添负号．
解答：
原式＝－(6m2－5n)2
＝－(36m4－60m2n＋25n2)
＝－36m4＋60m2n－25n2
变式：(－2n＋m－3p)(2n－m＋3p)
分析：
类似例2，注意前面添负号，去括号时要变号．
解答：
原式＝－(2n－m＋3p)2
＝－[(2n－m)＋3p]2
＝－[(2n－m)2＋2(2n－m)·3p＋(3p)2]
＝－(4n2－4mn＋m2＋12np－6mp＋9p2)
＝－4n2＋4mn－m2－12np＋6mp－9p2
例3：
1022－204×2＋4
分析：
本题中，我们关注到整个多项式有3项，其中首项和尾项都是平方形式，可以想到是完全平方公式的展开形式，那么，我们可以逆用完全平方公式简算．
解答：
原式＝1022－2×102×2＋22
＝(102－2)2
＝10000
变式：化简求值，(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(n－m)2，其中m＝2019，n＝－2
分析：
本题中，我们不难发现，如将m＋n看作整体，2(m－n)(m＋n)看作中间项的2×首×尾，则尾项的底数换成m－n为整体，则整个式子又可看作是完全平方公式的展开形式，直接逆用完全平方公式简算．
解答：
原式＝(m＋n)2－2(m－n)(m＋n)＋(m－n)2
＝[(m＋n)－(m－n)]2
＝(2n)2＝4n2
当n＝2时，原式＝4×22＝16
四、知二推二问题
完全平方公式是初一阶段的一个重点，它可以考查配方，可以考查简便运算，而且又是与初三二次函数的基础．我们将完全平方公式进行解剖，可以得到四个重要的代数式，(a＋b)2，(a－b)2，ab，a2＋b2，而且，我们只要知道其中的两个，就能推出另外两个，即知二推二．值得一提的是，这些项的次数都是二次，如果给出的式子是(a＋b)，(a－b)，则需要先去平方，使之变为二次．
例1：已知(x－y)2＝3，(x＋y)2＝7，求xy，x2＋y2
分析：
本题可以直接运用知二推二的公式，两式相加÷2或两式相减÷4．
解答：
例2：已知a－b＝7，ab＝3，求(a＋b)2的值．
分析：
我们所说的“知二推二”，知道的都是二次项，而给出的a－b是一次项，因此，要想到先平方，变为二次．
解答：
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
＝72＋4×3＝61
变式：已知a－2b＝4，ab＝6，求a＋2b的值
分析：
与上例类似，我们要平方，但需要注意的是，两式子的结果相差了几ab，最后计算时，别忘了把二次降为一次，注意两解．
解答：
(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2
(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2
∴(a＋2b)2＝(a－2b)2＋8ab＝16＋48＝64
a＋2b＝±8
五、配方法综合运用
例1：若a、b满足 a2＋b2－4a＋6b＋13＝0，求代数式(a＋b)2019的值．
分析：
本题中，我们注意到等式左边有五项，其中有两项可以看作首平方，则－4a，6b可以看作2×首×尾，那自然想到把13拆成两个尾平方，这样的方法叫配方法．通常将其中一项(一个数)拆成两个完全平方项(数)，凑两个完全平方式，使之变成0＋0型．
解答：
a2＋b2－4a＋6b＋13
＝a2－4a＋4＋b2＋6b＋9
＝(a－2)2＋(b＋3)2
∴(a－2)2＋(b＋3)2＝0，a＝2，b＝－3，∴原式＝－1．
变式：若x、y满足x2＋4y2＝6x－16y－25，求代数式xy 的值．
分析：本题可以与例题一样如法炮制，但需要先移项．
解答：
由题意得，x2－6x＋4y2＋16y＋25＝0
x2－6x＋9＋4y2－16y＋16＝0
(x－3)2＋(2y＋4)2＝0
例2：4x2－kx＋81是完全平方式，求k．
分析：
本题中，－kx作为中间项，要注意是2首尾的形式，同时，不要忘了两解．
解答：
原式＝(2x±9)2
＝4x2±36x＋81
∴k＝±36
变式：16x2＋9添一项整式是共三项的完全平方式，求要添的项
分析：
要使多项式变为完全平方式，则必须为首2±2×首×尾＋尾2形式，那么，要添加的整式就可以放在首2，2×首×尾，尾2三个位置上，但是，要注意，添加的代数式是否为整式．
解答：
