土力学公式大全图解（每天一点土力学）
土力学公式大全图解（每天一点土力学）而 A 点的纵坐标为： 并从 DC 开始逆时针旋转 ２α角，在圆周上得到点 A。 可以证明，A 点的横坐标就是斜面 mn上的正应力 σ，而其纵坐标就是剪应力τ 。 事实上，可以看出A 点的横坐标为：联立求解方程（ａ）、（ｂ），即得平面 mn 上的应力为：由材料力学可知，以上 σ、τ 与 σ１ 、σ３ 之间的关系也可以用莫尔应力圆的图解法表示，即在直角坐标系中，以 σ为横坐标轴，以τ 为纵坐标轴，按一定的比例尺，在 σ轴上截取OB ＝σ３ ，OC ＝σ１ ，以 D 为圆心，以（σ１ －σ３ ） ／２ 为半径，绘制出一个应力圆，如图所示。莫尔应力圆
土中一点的极限平衡条件在实际中，若已知地基或结构物的应力状态和抗剪强度指标，利用库仑定律，就可以判断受剪面上的强度条件，当土体中任意一点在某一特定平面上的剪应力达到土的抗剪强度时，土体在该点将发生剪切破坏，则称该点处于极限平衡状态或该点土体已经发生破坏。
在土中任意取一微单元体，设作用在该微分体上的最大和最小主应力分别为 σ１ 和 σ３。 而且，微分体内与最大主应力 σ１ 作用平面成任意角度 α的平面 mn 上有正应力 σ和剪应力τ （如图 ）
土单元体的应力状态
为了建立 σ、τ 与 σ１、σ３ 之间的关系，取微分三角形斜面体 abc 为隔离体（如图）。 将各个应力分别水平方向和垂直方向上投影，根据静力平衡条件得：
联立求解方程（ａ）、（ｂ），即得平面 mn 上的应力为：
由材料力学可知，以上 σ、τ 与 σ１ 、σ３ 之间的关系也可以用莫尔应力圆的图解法表示，即在直角坐标系中，以 σ为横坐标轴，以τ 为纵坐标轴，按一定的比例尺，在 σ轴上截取OB ＝σ３ ，OC ＝σ１ ，以 D 为圆心，以（σ１ －σ３ ） ／２ 为半径，绘制出一个应力圆，如图所示。
莫尔应力圆
并从 DC 开始逆时针旋转 ２α角，在圆周上得到点 A。 可以证明，A 点的横坐标就是斜面 mn上的正应力 σ，而其纵坐标就是剪应力τ 。 事实上，可以看出A 点的横坐标为：
而 A 点的纵坐标为：
上述用图解法所采用的圆称为莫尔应力圆，所以土中一点应力状态确定，可以利用莫尔应力圆方便求得过该点对应平面上的正应力与剪应力；或者，根据已知的正应力与剪应力，通过应力圆也能求得其作用面。
如果已知土的抗剪强度指标 c，φ，同时土中某点的应力状态已经确定，可将其抗剪强度与相应的莫尔应力圆画在同一张图上，如图所示
抗剪强度与莫尔应力圆间的关系
。
根据应力圆和抗剪强度包线之间的关系就可以判断土体在这一点上是否达到极限平衡状态，分以下 ３ 种情况讨论：
①如果整个莫尔应力圆位于抗剪强度线的下方（如图中圆Ⅰ），即通过该点的任何平面上的剪应力τ 都小于土体的极限抗剪强度τ ｆ，则该点不会发生剪切破坏，而处于弹性平衡状态；
②如果莫尔应力圆与抗剪强度线相切（如图中圆Ⅱ），切点为 A，则表明切点 A 所代表的平面上的剪应力τ 等于抗剪强度τ ｆ，此时该点处于极限平衡状态，此应力圆称为极限应力圆；
③如果抗剪强度线是应力圆的一条割线（如图中圆Ⅲ），则表明该点的土单元体已经破坏，实际上这种状态是不存在的，因为剪应力τ 增加到τ ｆ时，就不可能再继续增加了，将会产生应力重分布。
根据莫尔应力圆与抗剪强度包线的关系，就可以建立土中一点的极限应力平衡条件。
也就是说，在上图中，应力圆与抗剪强度线处于相切状态表明该点处于极限平衡状态（下图）。
极限平衡状态的莫尔圆与强度包线
因为
所以
对于无黏性土而言，c ＝０，则极限平衡条件表达式为：
这就是莫尔-库仑理论的破坏准则，也就是土体达到极限平衡状态时的条件，故也称为极限平衡条件。
