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初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)如图,直线 AB 和 CD 相交于 O 点,形成四个角,分别是 ∠1,∠2,∠3,∠4 .如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,那么这两个角互为对顶角.(1)邻补角:如果两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,那么这两个角互为邻补角.(2)对顶角:

知识要点:

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(1)

相交线与平行线知识框图

一、相交线

1.邻补角、对顶角的相关概念

(1)邻补角:

如果两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,那么这两个角互为邻补角.

(2)对顶角:

如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,那么这两个角互为对顶角.

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(2)

如图,直线 AB 和 CD 相交于 O 点,形成四个角,分别是 ∠1,∠2,∠3,∠4 .

其中邻补角有 4 对,分别是 ∠1 和 ∠2,∠2 和 ∠3,∠3 和 ∠4,∠4 和 ∠1

对顶角有 2 对,分别是 ∠1 和 ∠3,∠2 和 ∠4 .

2.邻补角和对顶角的性质

邻补角 互补;对顶角 相等.

3.邻补角、对顶角的应用

【例题1】如图,直线 a,b 相交,∠1=45°,求 ∠2,∠3,∠4 的度数.

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(3)

解:

∵ ∠1 ∠2 = 180°,

∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 45° = 135° .

∵ ∠3 = ∠1,∠4 = ∠2,

∴ ∠3 = 45°,∠4 = 135° .

二、垂线

1.垂线的相关概念

(1)垂直:

两条直线相交,有一个夹角是 直角,这两条直线互相 垂直

(2)垂线:

两条直线互相 垂直,其中一条直线叫作另一条直线的 垂线 .

2.垂直的性质与判定

如图,

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(4)

(1) 垂直的性质:

∵ AB⊥CD ( 已知 ),

∠AOC = 90° ( 垂直的定义 ).

(2)垂直的判定:

∵ ∠AOC=90° ( 已知 ),

AB⊥CD ( 垂直的定义 ) .

3.垂线的性质

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(5)

在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .

4.垂线的应用

【例题2】如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,OE⊥AB 于点 O,∠1 = 40°,

求 ∠2 和 ∠COA 的度数 .

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(6)

解:

∵ OE⊥AB,

∴ ∠BOE = 90°,

∵ ∠2 ∠BOE ∠1 = 180°,

∴ ∠2 = 180° - ∠BOE - ∠1 = 50° .

又 ∵ ∠2 ∠COA = 180°,

∴ ∠COA = 180° - ∠2 = 130° .

三、点到直线的距离

1.垂线段的定义:

如图,直线 PC⊥AB,把线段 PC 叫做点 P 到直线 AB 的 垂线段 .

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(7)

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 .

如图,下列选项中最短的线段是 ( B

A.PA B.PB C.PC D.PD

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3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这个点到这条直线的距离 .

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(9)

如图,线段 PB 的长度,叫做点 P 到直线 m 的距离 .

四、同位角、内错角、同旁内角

1.三线八角

如图,直线 AB,CD 被直线 EF 所截,构成八个角,简称“三线八角”.

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(10)

(1)同侧同向 —— 同位角:

例如 ∠1 和 ∠5,图中还有 ∠4 和 ∠8,∠2 和 ∠6,∠7 和 ∠3

(2)两侧异向 —— 内错角:

例如 ∠3 和 ∠5,图中还有 ∠4∠6

(3)同侧异向 —— 同旁内角:

例如 ∠3 和 ∠6,图中还有 ∠4∠5 .

2.同位角、内错角、同旁内角

【例题3】如图,

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(11)

① ∠1 与 ∠4 是同位角;② ∠2 与 ∠1 是内错角 ; ③ ∠3 与 ∠1 是同旁内角 .

3.同位角、内错角、同旁内角的应用

【例题4】如图,

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① ∠1 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 同旁内 角 ;

② ∠4 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 同位 角 ;

③ ∠2 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 内错 角 .

五、平行线

1.平行线的定义

(1)观察思考:

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在转动直线 a 的过程中,有没有直线 a 与直线 b 不相交的位置呢?

(2)定义及表示方法:

在同一平面内,不相交的两条直线 是平行线 .

直线 a 与 b 平行,记作 a∥b .

(3)总结:

同一平面内两条直线的位置关系有两种:① 平行,② 相交 .

2.平行公理及推论

(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)推论:

如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 .

如图,

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(14)

∵ b∥a,c∥a,∴ b∥c .

3.平行线的判定

(1)判定方法 1:

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

简单说成:同位角相等,两直线平行.

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(15)

如上图所示,用直尺和三角尺作出直线 AB,CD,

得到 AB∥CD 的理由是 同位角相等,两直线平行.

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结合图形,用符号语言表述平行线 判定方法

∵ ∠1=∠2 ( 已知 ),

AB∥CD ( 同位角相等,两直线平行 ) .

(2)判定方法 2:

两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行.

简单说成:内错角相等,两直线平行.

如图,

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∵ ∠1=∠2,

a∥b内错角相等,两直线平行).

(3)判定方法 3:

两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 .

简单说成:同旁内角互补,两直线平行 .

如图,

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(18)

∵ ∠1 ∠4 = 180°,

a∥c同旁内角互补,两直线平行).

(4)判定方法 4:

在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行 .

初中七年级数学相交线和平行线(七年级数学相交线与平行线)(19)

∵ b⊥a c⊥a

b∥c .

4.平行线的性质

(1)两直线平行,同位角相等;

(2)两直线平行,内错角相等;

(3)两直线平行,同旁内角互补 .

【例题5】如图所示,已知 AB∥CD .

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(1)∠ABE = 130°,∠CDE = 152°,求 ∠E 的度数;

(2)请猜想 ∠B ∠E ∠D 的度数,并说明理由 .

参考答案:

(1)∠E = 78°;

(2)∠B ∠E ∠D = 360° .

(提示:过点 E 作 EF∥AB . )

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