八上数学轴对称知识点归纳图(轴对称专题线段之和最短常见题型)
八上数学轴对称知识点归纳图(轴对称专题线段之和最短常见题型)对称轴为线段时,在两个端点处取到最大值①线段之和最大值【精华提炼】下列给出常考解题作图方法:这里一定要注意审题,是在线段上找最值点还是直线上找最值点。
【知识梳理】
路径最短问题:运用轴对称,将分散的线段集中到两点之间,从而运用两点之间线段最短,来实现最短路径的求解。所以最短路径问题,需要考虑轴对称。
典故:相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:
从图中的A地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
【精华提炼】
下列给出常考解题作图方法:
这里一定要注意审题,是在线段上找最值点还是直线上找最值点。
①线段之和最大值
对称轴为线段时,在两个端点处取到最大值
对称,然后连线,与对称轴交点即为最小值时的情况
这里有一个易错题型,求两条线段之差绝对值的最下值。我们可以这样理解,任意一个量的绝对值都是大于等于0的,所以绝对值的最小是就是0.即PA=PB的时候,那么怎么确定这个最值点呢,我们说线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等,所以点p必然在线段AB的垂直平分线上。那么线段之差的最小值点就是线段AB的垂直平分线与直线的交点。
这里可以这样理解:p点与AB两点不共线时,由两边差小于第三边的原理可知,PA-PB的绝对值必然小于线段AB的长度。所以最大值即为三点共线时,此时PA-PB的绝对值等于线段B。
求三角形PAB的周长最小值,常见于下面两种题型:
第一种:已知定点A点和B点,在直线上确定一点p,使三角形PAB周长最短。这里直接应用的是将军饮马模型,因为线段AB长度是定值,所以实际上点p就是P使A PB的最小值点。如下图第一个图片。
第二种:在一个角的内部有一个定点P,在角的两边上确定两点A点和B点,使三角形PAB周长最短,这里需要做两次对称。如上图第二个图片。
第三种题型,一定两动,求两条线段之和的最短值。
常见作图方法有两种,第一种先做A点关于其中一条边的对称点,然后直接过这个对称点向另一条边做垂线,垂足和交点即为所求。这里用的是垂线段最短的性质。
第二种方法是:直接把角扩大为原来的2倍,然后向大角的一条边上做垂线,交点即为其中一个所求点,然后过这个点向另一条边做垂线,垂足即为另一个所求点。这里用的性质是:角平分线上的点到角两边的距离相等。