高数无穷级数讲解（数形结合巧解无穷级数）

高数无穷级数讲解（数形结合巧解无穷级数）直线x=a与y=rx a交于点（a a ra） 竖直部分长度恰为ra。直线y=a ra与直线y=x交于点（a ra a ra）...不断进行下去，考虑每段水平线段在x轴的投影，长度分别为：a ar ar^2 ar^3 ....总长度恰为直线y=x和直线y=rx a的交点的横坐标。求得交点为（a/(1-r) a/(1-r)） 所以答：直角坐标系，画直线y=x和直线y=rx a y=a与直线y=x交于点（a a）。换个角度，把中间白色三角形都转180度：1/3 1/3 1/3每一部分的面积一目了然。故问题二：对一般的等比级数，

问题一

答：取面积为1的等边三角形，四等分，每个小三角形面积为（1/4），取顶部小三角形，再次四等分，每个面积为（1/4）^2 ...依次类推，图形如下：

所求无穷级数就是上图中白色区域三角形的面积。

乍一看，似乎只是把原问题换了个表达方式，这面积怎么计算呢？

换个角度，把中间白色三角形都转180度：

1/3 1/3 1/3每一部分的面积一目了然。故

问题二：对一般的等比级数，

答：直角坐标系，画直线y=x和直线y=rx a y=a与直线y=x交于点（a a）。

直线x=a与y=rx a交于点（a a ra） 竖直部分长度恰为ra。直线y=a ra与直线y=x交于点（a ra a ra）...不断进行下去，考虑每段水平线段在x轴的投影，长度分别为：a ar ar^2 ar^3 ....总长度恰为直线y=x和直线y=rx a的交点的横坐标。求得交点为（a/(1-r) a/(1-r)） 所以

从两条直线的位置关系还可以看出，若r≥1则直线y=x和直线y=rx a无交点，除非a=0且r=1。z这就从另一个角度解释了，所谓发散，就是几何上的无交点，或者“交于无穷远处”。

对于a和r是负数的情况，一样。换一换象限就行了。结论不变。

对于有限的等比数列，可以看成两个等比级数的差，进而用上述公式解决：