弹性模量与刚度的区别：力学之 关于刚度与模量

弹性模量与刚度的区别：力学之 关于刚度与模量cohesive element 的弹性阶段刚度为这种单元也就是所谓的cohesive zone element，相对应的材料则是cohesive zone model。这种单元的特性如下：为了方便，cohesive zone model会定义一个弹性刚度范围，也就是当位移跳跃小于某个值的时候，我们认为这个单元还是处于弹性阶段。但这个假设会从某种角度产生一定的误差，例如从之前的一维杆说起，实体部分的刚度为

由于这是一维杆，这也是整个杆能承受的最大拉力。

此外，我们还感兴趣的是能量，也就是需要做多少功才能把这个粘结处拉断。通常，我们会定义断裂韧性GI （fracture toughness，牛/米的量纲）来度量单位面积断裂所需要做的功。这样，我们就可以用一个简单的线性模型来模拟杆的力位移曲线：

• 初始阶段为线弹性，直到拉力达到最大值；
• 当拉力达到最大值之后，随着变形的增大，拉力减小，也就是进入软化阶段；
• 拉力降低到0，整个力-位移曲线的面积为GI A。

问题到这里似乎解决的挺好的了，但在有限元里面我们应该如何处理这个厚度为0的一个准弹簧的单元呢？

在实体单元里面，我们采用Gaussian积分点，在积分点上我们计算应变（包括增量应变），然后返回应力和模量；再在单元内通过对积分点信息的积分，计算单元内力以及单元刚度矩阵。但这个并不适用于这个问题，我们希望的是这个单元有这样一个性质：

• 单元允许在某个维度方向上厚度为0；
• 单元积分点的传入信息是在这个不连续面上的位移的跳跃值 (displacement jump)，而传出的信息是在当前这个跳跃值附近的刚度。

这种单元也就是所谓的cohesive zone element，相对应的材料则是cohesive zone model。这种单元的特性如下：

• 建模和划分网格的时候采用double-node技术，也就是将cohesive surface上的结点做一个简单的复制，然后链接成拥有初始厚度为0的cohesive zone element （注意这种单元其实并不一定要求初始厚度为0）；
• 单元采用Newton-Cotes积分方法（至于为什么不用Gaussian积分方法，大家可以做做研究，因为这个原因至今还未完全解决）；
• 单元传入的是位移的跳跃值，返回的是这个积分点上的单元刚度矩阵。

为了方便，cohesive zone model会定义一个弹性刚度范围，也就是当位移跳跃小于某个值的时候，我们认为这个单元还是处于弹性阶段。但这个假设会从某种角度产生一定的误差，例如从之前的一维杆说起，实体部分的刚度为

cohesive element 的弹性阶段刚度为

那么，我们可以通过弹簧的串联公式计算整个杆的等效刚度为

不过我们也可以发现，当充分大的时候，不等式两端的误差会充分小。因此，我们在用cohesive zone element 的时候，会将其弹性刚度设置的充分大，让其不会去影响整个结构在弹性阶段的响应。其本质还是应力-应变关系和力-位移关系的互相转化时候的概念问题，简单来说就是一个厚度为0应变不存在的单元，就不应该对结构的线性响应产生任何贡献。

北京神州翔宇技术有限公司