圆锥曲线轨迹方程推导（圆锥曲线-硬解定理）

圆锥曲线轨迹方程推导（圆锥曲线-硬解定理），直线L设抛物线C原定理内容：原定理内容并不适合常见的模型，因此在这里另外给出一套。一、抛物线情形

圆锥曲线硬解定理，又称CGY-EH定理(The CGY Ellipse & Hyperbola Theorem)或JZQ-EH定理(The JZQ Ellipse & Hyperbola Theorem)，其是一套求解椭圆（或双曲线）与直线相交时，联立方程求判别式、韦达定理与相交弦长的简便算法，常应用于解析几何。

我另外整理，亲自算了一遍，并把结果写在下面，希望方便大家浏览。

由于大部分是自己算的，可能会出现错误，如果有误欢迎指出！

但是应该特别注意的是，定理并不能直接用于实际，可以把计算的过程，也就是下面推导的过程写出来。

原定理内容：

原定理内容并不适合常见的模型，因此在这里另外给出一套。

一、抛物线情形

设抛物线C

，直线L

，联立得：

，由韦达定理：

抛物线的计算量较小，通常选择消去一次项。

其他情形的抛物线可以类比，在这里不再列出。

二、椭圆情形

（1）设椭圆 C:

，直线 l:

，将椭圆方程变形为：

，与直线联立：

由韦达定理：

令

，则：

（2）设椭圆 C:

，直线 l:

，将椭圆方程变形为：

，与直线联立：

由韦达定理：

令

，则：

交换上式中的 a b 可以得到焦点在 y 轴上的椭圆：

，其中

三、双曲线情形

设双曲线 C:

，直线 l:

，将椭圆方程变形为：

，与直线联立：

由韦达定理：

令

，则：

用-b^2 代替 a^2 ， -a^2 代替 b^2 可以得到焦点在 y 轴上的双曲线：

，其中

四、总结

特别指出，直线也可能设为

。

焦点在 x 轴上的椭圆：

，其中

焦点在 y 轴上的椭圆：

，其中