牛顿莱布尼茨积分计算公式：从牛顿和莱布尼兹各自创立微积分基本定理看综合创新的客观标准

牛顿莱布尼茨积分计算公式：从牛顿和莱布尼兹各自创立微积分基本定理看综合创新的客观标准因此，就微积分的创立而言，尽管牛顿和莱布尼茨在个人学术背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但两人的功绩是相当的。所以人们把“微积分基本定理”称为“牛顿—莱布尼茨定理”，标志着牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理（公式）—— 而与牛顿生活在同一时代的莱布尼茨(1646-1716年)整理、概括自1673年以来自己关于微积分研究的成果，1684年在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂（mì）与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。到1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程。这样，按照将微积分学论文公开发布的时间来看，莱布尼兹发表的时间（1684-1686年），与牛顿将

从牛顿和莱布尼兹同时各自创立微积分基本定理看综合创新的客观标准

人人都可以综合创新，那么，就确定的对象而言，综合创新有没有客观标准呢？

回答是肯定的。否则，综合创新就乱了套。

在此，我们仅就科学理论创新方面的两个典型实例，来作一论证。一个实例是处于同一时代的牛顿和莱布尼兹各自独立创立微积分基本定理（公式）；另一个实例是达尔文和华莱士几乎同时不约而同地提出进化论。

先就牛顿和莱布尼兹各自独立创立微积分基本定理（公式），来做一说明。

当知道莱布尼兹也与自己一样，提出微积分基本定理公式后，牛顿曾大动肝火，指责莱布尼兹抄袭了他。但事实证明，牛顿错了。

牛顿（1643-1727年）于1664年秋开始研究微积分问题，尔后在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年，他将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文即《流数简论》，成为历史上第一篇关于微积分的系统文献。循此继进，他又在1671年写成《流数术和无穷级数》一书，指出变量由点、线、面的连续运动所产生，否定了以前他认为变量是无穷小元素的静止集合的观点。他把连续变量叫做“流动量”，把这些流动量的导数叫做“流数”。揭示了已知连续运动的路径，求给定时刻的速度即微分法；已知运动的速度求给定时间内经过的路程，即积分法。他还将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础，提出并论述了“微积分基本定理”。这样，牛顿就以正、反流数术，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来，从而创立了微积分。他将这一成果收录在1687年出版的力学巨著《自然哲学的数学原理》一书中。而他的微积分论文和《流数术和无穷级数》书稿，则直到1736年才在朋友的再三催促下相继出版。

而与牛顿生活在同一时代的莱布尼茨(1646-1716年)整理、概括自1673年以来自己关于微积分研究的成果，1684年在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂（mì）与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。到1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号并给出了摆线方程。这样，按照将微积分学论文公开发布的时间来看，莱布尼兹发表的时间（1684-1686年），与牛顿将其研究微积分的成果收录在《自然哲学的数学原理》的出版时间1687年，大体相当。

因此，就微积分的创立而言，尽管牛顿和莱布尼茨在个人学术背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但两人的功绩是相当的。所以人们把“微积分基本定理”称为“牛顿—莱布尼茨定理”，标志着牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理（公式）——

如果函数

是连续函数

在区间

上的一个原函数，则

为什么两位不同国籍而且未曾谋面、也未曾交流、沟通的数学家，却几乎同时发现并创立“微积分基本定理（公式）”呢？该怎么解释这种巧合呢？

牛顿和莱布尼兹生活在同一时代，两人年龄只相差3岁。他们之所以能各自独立发现并几乎同时创建微积分基本定理公式，是与他们所处的时代背景、当时社会发展对于数学发展的客观要求，以及他们所共有的科学家的素质，即彼此都具有同样高超的科学能动综合能力分不开的。

众所周知，到17世纪，经济与社会发展向包括数学在内的诸多学科，提出了许多带有挑战性的课题。正是这些课题成为催生微积分产生的客观时代背景。实际上，在牛顿和莱布尼茨作出他们的创见之前，与微积分相关的大量知识已经积累起来了。当时的许多著名数学家、天文学家、物理学家，都为解决上述问题作了大量的研究工作。如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人，都提出很有建树的理论，为微积分的创立作出了贡献。例如费马、巴罗、笛卡尔就都对求曲线的切线，以及曲线围成的面积问题有过深入的研究，并取得到了一些成果，只是他们未能意识到它的重要性。而牛顿和莱布尼兹则认识到了它的重要性，在继承前人成果的基础上通过科学能动综合，发现并创立了微积分基本定理（公式）。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题，即一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题），紧密地联系在一起了。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，而莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。（参见田怀录著：《微积分与牛顿、莱布尼兹》，山西人民出版社1980年版）

无数的史实向人们昭示：一门学科的创立绝非偶然，而是一定的社会背景和历史时代呼唤、渴求和亟需之必然；一门学科的创立也并非某些人的个人功绩，而是经过多少人乃至几代人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人通过综合创新才完成的。微积分学也是这样。就创立的时间而言，牛顿比莱布尼茨早了10年左右；但就公开发布的时间而言，莱布尼茨却比牛顿早了3年。而就其方法和内容而言，他们也各有长处、短处。尔后的数学家如柯西和威尔斯特拉斯等，继承他们的长处，克服他们的短处，最终将微积分完善化、严格化，使之成为挺立于数学园林中的一株奇葩。（参见李心灿编：《微积分的创立者及其先驱》，高等教育出版社2007年版）

牛顿和莱布尼兹分别在继承前人研究成果的基础上，经过殚精竭虑地综合创新，才各自独立地发现、创立“微积分基本定理（公式）”的。这一事实，再次证明了真理的客观性和唯一性。

人们对于真理的探索就像攀登珠穆朗玛峰一样，可以从不同的方向出发，采用不同的方式攀登，但最终的目的地则是珠峰的峰顶。这个峰顶是客观存在的，而且是唯一的。因此，是否到达峰顶，是可以通过客观事实来证明和评判的。牛顿和莱布尼兹通过各自独立地研究，得出同样的结论即“微积分基本定理（公式）”，也叫“牛顿-莱布尼兹定理（公式）”，与这个道理是一样的。“微积分基本定理（公式）”即“牛顿-莱布尼兹定理（公式）”与珠峰峰顶一样，既是客观的，也是唯一的。牛顿和莱布尼兹及其前人和后人方向一致的研究、攀登，最终使微积分学成为一门独立的学科。

这个事实证明，在某个课题或领域的真理的探求上，由科学能动综合促成的创新所能达到的最终目标或顶点，是客观的、唯一的。（2019.3.27.）