三角形五心及其性质的定义：三角形五心之一
三角形五心及其性质的定义：三角形五心之一三角形ADE与三角形ADF有公共边AD，可得三角形ADE与三角形ADF全等ED和DF都是半径，即ED=DF。性质1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。证：如上图，已知角C的外角平分线CD于角B的外角平分线BD交于D，我们来证明AD一定平分角A。取旁切圆圆D与直线AC和AB的切点，分别为E和F。连接ED、FD，可知角DEA和角DFA均为直角。
之前分享了一题使用三角形旁心性质巧妙解答求角度难题，收到了很多留言咨询。旁心是三角形五心之中，出场率较低的，所以我们今天来具体介绍一下旁心。
想重温这道求角度的几何题，可以点这里：数学趣题：不用三角函数求出∠BAC的度数
三角形旁心及旁切圆性质
旁心有以下性质：
性质1 ：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
证：如上图，已知角C的外角平分线CD于角B的外角平分线BD交于D，我们来证明AD一定平分角A。
取旁切圆圆D与直线AC和AB的切点，分别为E和F。连接ED、FD，可知角DEA和角DFA均为直角。
ED和DF都是半径，即ED=DF。
三角形ADE与三角形ADF有公共边AD，可得三角形ADE与三角形ADF全等
即可得到角DAF=角DAE，因此，直线AD平分角A。证毕
性质2：旁心到三角形三边的距离相等。
根据角平分线性质，易证此性质
性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。
根据三角形特性，两条三角形外角平分线的交点，一定交于三角形外，易证此性质
性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
证：如上图，三角形ABC中角A为90度，取BC与圆D的切点为G。
易知三角形DEC与三角形DGC全等，所以EC=CG。同理可知BG=BF。
三角形ABC的周长L=AB AC CB=(AB BG) (AC CG)=(AB BF) (AC EC)=AE AF
四边形AFDE为正方形，AE及AF都等于圆D的半径，得证。
三角形3个旁心组成的三角形为旁心三角形，如下图所示的三角形HDI。这个旁心三角形也有多个美妙的性质。例如：
1）H、C、D三点共线等
2）旁心三角形HDI的垂心是原三角形ABC的内心
此外，其中HB、AD、CI三条线的交点O是三角形ABC的内心，图中红色的圆就是内接圆，与三个旁切圆都相切。
紫色的圆是旁心三角形HDI的外接圆，也称为“贝文圆”。
具体的性质，有兴趣的读者可以自行证明
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