三道初三数学关于二次根式的题（解答二次根式问题）
三道初三数学关于二次根式的题（解答二次根式问题）它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式。于是，二次根式除法可以这样理解：(2 √3)(2-√3)=1，(√5 √2)(√5-√2)=3。运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地，字母因式从根号内移到根号外或从根号外移到根号内时，必须考虑字母因式隐含的符号。二次根式的除法一般要通过分母有理化来进行，利用平方差公式找出分母有理化因式是常用的方法，如:(√a √b)(√a-√b)=a-b；(a √b)(a-√b)=a2-b。阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌。这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比。在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”。如
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式子√a(a≥0)叫二次根式，二次根式的性质是根式化简的依据，而化二次根式为最简根式，又是根式运算的基础。
最简二次根式、同类二次根式是二次根式中的重要概念，因为二次根式的加减，实质就是合并同类二次根式。
利用二次根式的乘除法则来化简、计算是中考命题的热点，着重考查同学们对有关法则的灵活运用能力。
运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”
特别地，字母因式从根号内移到根号外或从根号外移到根号内时，必须考虑字母因式隐含的符号。二次根式的除法一般要通过分母有理化来进行，利用平方差公式找出分母有理化因式是常用的方法，如:(√a √b)(√a-√b)=a-b；(a √b)(a-√b)=a2-b。
阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌。这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比。在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”。如
(2 √3)(2-√3)=1，(√5 √2)(√5-√2)=3。
它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式。于是，二次根式除法可以这样理解：
如:1/√3=1×√3/√3×√3=√3/3，
2 √3/2-√3=(2 √3)(2 √3)/(2-√3)(2 √3)
=7 4√3
像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化。解决问题：
⑴ 4 √7的有理化因式是( )，2/3√2分母有理化得( )。
⑵ 计算：
①1/2 √3 √27-6√1/3；
②1/1 √2 1/√2 √3 1/√3 √4 …… 1/√2003 √2004；
⑶ 已知x=√3-1/√3 1，y=√3 1/√3-1，求x4 y4的值。
解题步骤解:⑴ 答案:4-√7，√2/3.
⑵ ①分母有理化，得
2-√3 √27-6×√3/3
化简得
2-√3 3√3-2√3
合并同类二次根式，得2，
所以原式=2。
②分母有理化，得
√2-1 √3-√2 √4-√3 ……√2004-√2003
合并同类二次根式，得√2004-1
所以原式=2√501-1.
⑶由已知可得
ⅹ y=√3-1/√3 1 √3 1/√3-1
对等式右边通分得
(√3-1)2 (√3 1)2/(√3 1)(√3-1)
展开得
3-2√3 1 3 2√3 1/3-1
计算得:ⅹ y=4。
由已知还可得
ⅹy=√3-1/√3 1×√3 1/√3-1
约分得:xy=1
待求式ⅹ4 y4可化为
[(ⅹ y)2-2ⅹy]2-2(xy)2
将ⅹ y=4，ⅹy=1代入上式得194.
所以x4 y4=194.
此类题主要考查对材料中所给概念的理解和应用能力。
分母有理化是解决这类问题常用的方法，进行分母有理化的关键是确定分母的有理化因式，
例如本题第⑴问的第2个空，就是根据分母得到它的有理化因式√2/3.
一般地，√a的有理化因式是它本身√a √a √b的有理化因式是√a-√b，确定分母的有理化因式是进行有理化的第一步，一定要确定第一步的正确，因此需要多加练习，加强运用和运算能力。
本题给出了分母有理化的概念，并给出了相关的问题，来考查对这一概念的理解和应用能力。只要明确了分母有理化的实质本题也就不难求解了。
1、仔细阅读材料，可知分母有理化的实质是
利用了平方差公式或完全平方式，将分母中的根式化为整式的，仿照例子，相信你能求解第(1)问；
2、第⑵问中的①和②两式，都需先对待求式
进行分母有理化，然后再化简即可；
3、第⑶问是一道已知求值类题目，直接代值，计算有些麻烦，不妨先对已知和待求式进行适当的变形后，再代入求值；
由已知先求出x y和xy的值，再将待求式进行变形，使其各个部分由x y和xy组成；
将待求式可变形为[(x y)2-2xy]2-2(xy)2，接下来代值求解即可。
运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地，字母因式从根号内移到根号外或从根号外移到根号内时，必须考虑字母因式隐含的符号。
二次根式的除法一般要通过分母有理化来进行，利用平方差公式找出分母有理化因式是常用的方法，如:
(√a √b)(√a-√b)=a-b；(a √b)(a-√b)=a2-b。
二次根式的运算是在整式、分式运算的基础上发展起来的，因此，恰当运用公式、分解因式、字母化等是二次根式运算中的常用技巧。
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