高中数学最值问题例题和归纳（高中数学压轴小题选题之三角中的最值问题）

高中数学最值问题例题和归纳（高中数学压轴小题选题之三角中的最值问题）第六题就是常规的函数法求最值了，但千万不要错误估算A的取值范围，这也是选这个题目的意义所在。第五题和第六题均用到了正弦平方差公式，不熟悉的可以参考链接：小知识之正弦平方差公式的应用，化简之后A和B互余，在解不等式恒成立时当然可以对关于x的二次函数进行根的分布讨论，但过于复杂，观察到三项中都与x 1-x有关，同除x(1-x)可利用均值不等式去掉未知量x，转化为解三角不等式问题。这个题的关键在于如何分析函数在(π/2 3π/2)上恰好只有一个极值点，这里有很多学生不理解为什么这段距离必须要大于T/2 因为若距离小于T/2，则函数并不一定存在极值点，这里令区间距离大于T/2且小于T只是说明存在一个极值点时的参数可能取值范围，加上前面的不等式才可以确定出具体参数的值。同样是存在极值点的问题这个题目就相对好理解了，因为区间从0开始取，只取确定出在该区间内括弧内的取值范围，左端点确定只需确定出存在极值

本次内容其实只是回答后台提出的一道三角函数问题，另外又找了九道难度中等的三角最值题目(三角函数和解三角形)以作补充，真的应了那句为了这口醋才包了这顿饺子，题目如下：

这就是本想作为单独篇幅的题目，已知边长和对角，求与边长有关的题目，可使用三角函数有界性，在本题中由于存在参数，不适合用余弦定理加不等式，将B C转化为一个角之后要满足三角函数有最大值，因为角度是开区间，要保证取得最大值，则sin()内的取值范围要覆盖π/2方可，题目有两种做法：

用导数的做法则函数存在极大值，单纯的令导函数为零并不一定求得是极大值，因此需要做一次验证，若不验证，则要从f(x) f'(x) f''(x)三者的关系来处理，放在这里方法并不十分恰当。

上述做法是根据括弧内取得极大值时的方程有根来处理，其实没必要，就如一开始说的，要取得最大值，则括弧内的范围一定要覆盖π/2即可，因为0<B<60°，只需令φ>30°即可。

这个题的关键在于如何分析函数在(π/2 3π/2)上恰好只有一个极值点，这里有很多学生不理解为什么这段距离必须要大于T/2 因为若距离小于T/2，则函数并不一定存在极值点，这里令区间距离大于T/2且小于T只是说明存在一个极值点时的参数可能取值范围，加上前面的不等式才可以确定出具体参数的值。

同样是存在极值点的问题这个题目就相对好理解了，因为区间从0开始取，只取确定出在该区间内括弧内的取值范围，左端点确定只需确定出存在极值点时的右端点即可，函数在(π/2 π)上单调可根据区间距离小于等于T/2确定出参数的大致范围，再根据单调具体来确定，此时用导数来确定相对很容易一些。

这种题目考查的是对不同种类函数性质的观察了，三角函数和二次函数均为对称函数，在本题中两函数有相同的对称轴，只是一个取极大值一个取极小值，因此m n肯定关于对称轴对称，找到其中使得两函数相等的点即可。

第五题和第六题均用到了正弦平方差公式，不熟悉的可以参考链接：小知识之正弦平方差公式的应用，化简之后A和B互余，在解不等式恒成立时当然可以对关于x的二次函数进行根的分布讨论，但过于复杂，观察到三项中都与x 1-x有关，同除x(1-x)可利用均值不等式去掉未知量x，转化为解三角不等式问题。

第六题就是常规的函数法求最值了，但千万不要错误估算A的取值范围，这也是选这个题目的意义所在。

题目考查阿波罗尼斯圆，B D两点距离确定，AB和AD之间存在比例关系，此时若以B D为关于x轴对称的两点建系可知A点的轨迹为圆，若熟悉阿氏圆的用法可直接写出圆的方程和半径，本题目出现中线，中线将三角函数分成两个面积相等是三角形，只需求出△ABD面积最大时的值即可，相关内容可参考阿波罗尼斯圆的浅浅浅浅用法分析

第八题很常规，无需再解释。

第九题可使用补圆法处理，相关链接可参考：【三角函数专题】4.与正余弦有关的三角形中的最值问题，至于为什么AD最长时过原点，可用三角形法则来证明，因为AD≤AO OD，当取等时A O D三点共线，因此只需求出OD的长度加上外接圆的半径即可，求OD时会用到圆周角和圆心角的关系。

第十题难度不大，将边转化为角，再利用余弦定理即可，通过导数求最值。