高考数学第一道大题三角函数（1954年高考数学真题）

高考数学第一道大题三角函数（1954年高考数学真题）当sinx=0时，x=kπ。当cosx sinx=0时，tanx=-1，即x=kπ-π/4；在本题中，切化弦后等式左边的分子分母再同时乘以cosx，就变成了(cosx sinx)/(cosx-sinx)。原方程的右边出现了二倍角，所以可以用二倍角正弦公式进行变换，同时将“1”转化为同角三角函数的平方关系，从而方程右边就变成了(cosx sinx)^2。接下来，去分母，同时通过移项、提公因式等操作，就可以将方程化简为：2(cosx sinx)(sinx)^2=0，则cosx sinx=0或sinx=0。

1954年高考是新中国成立后举行的第3次高考。当时所学知识的难度及广度都比不上现在，考试的难度自然也比如今的高考要低得多，甚至现在很多高中生表示自己如果早生几十年去参加那时的高考，自己也会是一个学霸。不过，这并不表示当时所有的题都很简单，比如本文和大家分享这道1954年高考数学解三角函数方程的真题，现在还有不少学生不会做。

题目见上图。题中的tgx就是现在的tanx，在后面的讲解中也就换成了tanx。下面和大家分享本题的两种解法。

解法一：切化弦

在三角恒等变换中，切化弦是一个非常重要的变换技巧，简单说就是遇到正切余切时，就利用同角三角函数关系中的商数关系，即tanx=sinx/cosx将正切函数(现在的全国卷教材已经删除了余切)变为正余弦函数，从而变成了正余弦函数的运算。

在本题中，切化弦后等式左边的分子分母再同时乘以cosx，就变成了(cosx sinx)/(cosx-sinx)。

原方程的右边出现了二倍角，所以可以用二倍角正弦公式进行变换，同时将“1”转化为同角三角函数的平方关系，从而方程右边就变成了(cosx sinx)^2。

接下来，去分母，同时通过移项、提公因式等操作，就可以将方程化简为：2(cosx sinx)(sinx)^2=0，则cosx sinx=0或sinx=0。

当cosx sinx=0时，tanx=-1，即x=kπ-π/4；

当sinx=0时，x=kπ。

当然，如果感觉直接去分母、移项处理比较麻烦，在得到(cosx sinx)/(cosx-sinx)=(cosx sinx)^2后，也可以直接进行讨论。即分为cosx sinx=0和1/(cosx-sinx)=cosx sinx两种情况讨论。

另外，再解cosx sinx=0这种情况时，除了上面地方法，还可以用辅助角公式求解。具体解法见下图：

解法二：齐次式转化

原方程的左边先不动，右边的分母看成“1”，然后把“1”用同角三角函数的平方关系转化及并二倍角的正弦公式将sin2x转化，右边就也可以完全转化为一个tanx的分式，即(tanx 1)^2/[(tanx)^2 1]。

接下来求解tanx的值。求tanx的值的时候，不要直接去分母，那样计算量比较大，更简单的方法就是直接分类讨论，即分为tanx 1=0和1/(1-tanx)=(tanx 1)/[(tanx)^2 1]两种情况求解。

这道题的难度实际上并不大，但是不少同学不会做，你会做吗？