初中数学相交线与平行线难题（初中数学要学好本章知识掌握牢）
初中数学相交线与平行线难题（初中数学要学好本章知识掌握牢）数量关系:对顶角相等，邻补角和为180°两直线相交于一点，形成四个小于平角的角，这四个角有两种位置关系。(1)对顶角:两边互为反相延长线的两个角。(2)邻补角:有一条公共边，另一边互为反向延长线。下面我们就本章内容加以详细解析。一、六个概念1、相交线:
七年级数学下册第五章，平行线与相交线的内容，是中考的必考知识，也是以后学习有关几何计算和证明的基础。初中数学要想学好，掌握本章内容很重要。
本章的知识点可概括为以下几点:(1)6个概念。(2)两个判定。(3)两个性质。(4)一个方法。(5)两种思想
常见的题目涉及到的内容有:(1)角度的计算，垂线段及其在实际中的应用，平行线的判定及性质的应用。
命题的形式有:(1)填空。(2)选择。(3)解答。(4)说理题。
下面我们就本章内容加以详细解析。
一、六个概念
1、相交线:
两直线相交于一点，形成四个小于平角的角，这四个角有两种位置关系。(1)对顶角:两边互为反相延长线的两个角。(2)邻补角:有一条公共边，另一边互为反向延长线。
数量关系:对顶角相等，邻补角和为180°
出题内容:角度的计算。
例:如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠COF=35°，∠BOD=60°，求∠EOF。
分析:(1)先把题中的条件标到图上，相等的角做出相同的标记。(2)观察作标记的角之间的关示，看首先能求出哪一个角。(3)写解答过程时先求出的角先写，然后再写依次求出的角。
解:∵∠BOD=∠AOC(对顶角相等)，∠BOD=60°
∴∠AOC=6O°(等量代换)
∵OE平分∠AOC(已知)
∴∠COE=1/2∠AOC=1/2×60°=30°(角平分线的定义)
∵∠COF=35°(已知)
∴∠EOF=∠COE ∠COF=30° 35°=65°
答:∠EOF为65°。
2、点到直线的距离。
过直线外一点向已知直线作垂线，点与垂足之间的线段长度叫点到直线的距离。
例:如图，点A，B，C在直线L上，PA=6cm，
PB=5cm，PC=7cm，点P到直线L的距离为d，则d的取值范围是______cm。
解:d≤5。
3、三线八角。
两条直线被第三直线所截，出现八个小于平角的角，其中没有公共顶点的角之间存在3种位置关系。(1)同位角。(2)内错角。(3)同旁内角
同位角:∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
内错角:∠3与∠5，∠4与∠6。
同旁内角:∠3与∠6，∠4与∠5。
例:如图，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3的同位角等于_____，∠3的内错角等于_____，∠3的同旁内角等于_____。
解:∠3的同位角是∠4等于80°，内错角∠5等于80°，同旁内角∠6等于100°。
4、平行线:在同一平面内永不相交的两条直线
平行公理:过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
例:如图，已知直浅AB，CD，点P，按要求作平行线。(1)过点P作AB的平行线EF。(2)过点P作CD的平行线MN。
平移:是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
注意:平移时图形上所有点移动的距离相等，对应线段相等。对应角相等。
例:如图，三角形ABE向右平移2cm，得到三角形DCF，若三角形ABE的周长是16cm，则四边形ABFD的周长是多少？
解:由题意可知AE=DF，AD=EF=2cm，
AB AE BE=16cm
∴四边形ABFD周长=AB BF DF AD
=AB BE EF DF AD
=AB AE BE EF AD
=16 2 2=20cm
6、命题。
(1)命题的结构:一个命题由题设和结论两部分组成。
(2)命题的分类:真命题，假命题。
例:如图∠ACD是∠ACB的邻补角，请从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命颢。①CE//AB；
②∠A=∠B；③CE平分∠ACD。
(1)由上述条件可得出哪几个真命题。
(2)请根据(1)中的真命题，选择一个进行证明
编写真命题要注意:1、要先确定命题的题设和结论。2、确定题设要注意两点:一是题设确保结论成立，即条件要充分。二是没有多余条件，即条件是必要的。
解:(1)命题一:已知CE//AB，∠A=∠B；
求证CE平分∠ACD。
命题二:已知CE//AB；CE平分∠ACD。
求证∠A=∠B；
命题三:已知∠A=∠B，CE平分∠ACD。
求证CE//AB
(2)已知CE//AB，∠A=∠B
求证CE平分∠ACD
证明:∵CE//AB(已知)
∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠DCE(两直线平行，同位角相等)
∵∠A=∠B(已知)
∴∠ACE=∠DCE(等量代换)
∴CE平分∠ACD(角平分线定义)
二、两个判定。
1、垂线的判定方法:证明相交所成的角为90°
例:如图，已知DO⊥CO，∠1=36°，∠3=36°。
(1)求∠2的度数。(2)AO与BO垂直吗？说明现由。
解:(1)∵DO⊥CO(已知)
∴∠COD=90°即∠1 ∠2=90°(垂直定义)
∵∠1=36°(已知)
∴∠2=90°－36°=54°
(2)∵∠2=54°，∠3=36°
∴∠2 ∠3=54 36=90°
∴AO丄BO。
2、平行线的判定方法。
(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行。
(2)同位角相等，两直线平行。
(3)内错角相等，两直线平行。
(4)同旁内角互补，两直线平行。
例:下列图形中，由∠1=∠2能得到AB//CD的是
应选B。A、D中∠1与∠2是同旁内角。C中∠1与∠2是AD、BC被AC所截的内错角。
三、两个性质。
1、垂线段的性质:垂线段最短。
例:如图一个人在A处，画出他要到河的最短路径，并说明理由。
解:如图，他到河的最短路径为线段AB。理由:垂线段最短。
2、平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
例1:将一副三角板按如图方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( A )
A、75° B、90° C105° D115°
例2:如图，OC是∠AOB的平分线，l//OB，若∠1=52°，则∠2的度数为( C )
A、52° B、54° C、64° D69°
四、一个方法:作辅助线构造三线平行和三线八角。
当题中已知角和要求的角，不是两平行线被第三直线所截出现的三线八角时，可通过添加平行线或延长线的方法，来解决问题。
例:已知∠D=30°，∠ACD=65°，AB//DE，
求∠A
方法一:过点C作CF//AB。
∴∠A=∠ACF(两直线平行，内错角相等)
又∵AB//DE(已知)，CF//AB(已作)
∴DE//CF(平行于同一直线的两直线互相平行)
∴∠D=∠FCD(两直线平行，内错角相等)
∴∠A ∠D=∠ACF ∠FCD(等式基本性质)
即∠A ∠D=∠ACD
∵∠D=30°，∠ACD=65°(已知)
∴∠A=∠ACD－∠D=65°－30°=35°
答:∠A为35°
方法二、延长AC交DE于点F。
∵AB//DE(已知)
∴∠A=∠DFA(两直线平行，内错角相等)
∵∠DFA ∠D ∠DCF=180°(三角形内角和为
180°)
∵∠DCF ∠ACD=180°(邻补角和为180°)
∴∠DFA ∠D ∠DCF=∠DCF ∠ACD(等量代换)
∴∠DFA ∠D=∠ACD(等式基本性质)
∴∠A ∠D=∠ACD(等量代换)
∵∠D=30°，∠ACD=65°(已知)
∴∠A=∠ACD－∠D=65°－30°=35°
答:∠A为35°
五、两种数学思想。
1、方程思想。
例:如图，ABCD，∠1:∠2:∠3=1:2:3，求∠4。
解:设∠1的度数为x度，则∠2为2x度，∠3度数为3x度。
∵AB//CD(已知)
∴∠2 ∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∴2x 3x=180°
解得x=36°
∴∠1=36°
∠2=2×36°=72°，∠3=3×36°=108°
∵AB//CD(已知)
∴∠1 ∠2=∠4(两直线平行同位角相等)
∴∠4=36° 72°=108°
答∠4为108°
2、转化思想。
例:已知AB//CD，BC//DE，若∠A=20°，
∠C=120°，求∠AED。
分析:可通过作辅助线构造基本图形，把问题转化为平行线的性质和判定的问题，从而建立起角之间的关系。
解:过点E作EF//AB交BC于点M。
∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)
∵∠A=20°(已知)
∴∠1=20°(等量代换)
∵AB//CD(已知) ，AB//EF(已作)
∴CD//EF(平行于同一直线的两条直线互相平行)
∴∠C ∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补
∵∠C=120°(已知)
∴∠3=180°－120°=60°
∵BC//DE(已知)
∴∠3=∠2=60°(两直线平行，同位角相等)
∴∠AED=∠1 ∠2=20° 60°=80°
答∠AED为80°
