初中数学图形旋转的动点问题（初中数学-提高篇）

初中数学图形旋转的动点问题（初中数学-提高篇）通过以上分析，点的平移，我们可以将其总结为以下规律：点向x轴正方向移动(向右)c个单位时，只需将x变为x c，纵坐标保持不变；向x轴负方向移动(向左)c个单位时，将x变为x-c，纵坐标保持不变；向y轴正方向(向上)移动c个单位时，将y变为y c 横坐标保持不变；向y轴负方向移动(向下)c个单位时，将y变为y-c，横坐标保持不变；概括说就是“正加负减”(x、y轴正方向移动是加法，负方向移动是减法)。根据坐标系内坐标的特点并结合上图，此种情况很容易解决。对于任一坐标（a b），平移结果总结如下：1 点的平移我们把点的平移分为两类：正推和反推。所谓正推就是求点平移后的坐标，例如点(2 4)向右平移2个单位后的坐标。反推就是求平移前的坐标，例如点(x y)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到坐标(4 6)，求点(x y)。下面我们分类讨论。1.1 正推

在初中数学中，当学习完函数后，我们会遇到一类题目，函数的平移问题，包括一次函数，反比例函数和二次函数。此类问题，在课堂上，老师一定进行了相应的讲解并总结出了相应的规律。然而很多学生知其然却不知其所以然，今天我们就重新梳理讲解该知识点，让学生们知其然同时也能知其所以然。

我们知道线是由无数个点组成的，那么我们就由点入手，从点的平移和对称扩展到线的平移和对称。下面我们将平移和对称分开来讲解。

一、平移

在平面直角坐标系中，我们可以把平移分为沿x轴的水平平移，包括向右（沿x轴正方向）平移、向左（沿x轴负方向）平移；沿y轴的纵向平移，包括向上（沿y轴正方向）平移、向下（沿y轴负方向）平移；混合平移，即水平和纵向的混合形式。

1 点的平移

我们把点的平移分为两类：正推和反推。所谓正推就是求点平移后的坐标，例如点(2 4)向右平移2个单位后的坐标。反推就是求平移前的坐标，例如点(x y)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到坐标(4 6)，求点(x y)。下面我们分类讨论。

1.1 正推

根据坐标系内坐标的特点并结合上图，此种情况很容易解决。对于任一坐标（a b），平移结果总结如下：

通过以上分析，点的平移，我们可以将其总结为以下规律：点向x轴正方向移动(向右)c个单位时，只需将x变为x c，纵坐标保持不变；向x轴负方向移动(向左)c个单位时，将x变为x-c，纵坐标保持不变；向y轴正方向(向上)移动c个单位时，将y变为y c 横坐标保持不变；向y轴负方向移动(向下)c个单位时，将y变为y-c，横坐标保持不变；概括说就是“正加负减”(x、y轴正方向移动是加法，负方向移动是减法)。

1.2 反推

反推问题，我们可以采用逆向思维，即把现坐标按原平移方向的反方向反推回去，仍然按照正推的“正加负减”规律即可。例如本节所举例：点(x y)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到坐标(4 6)，求原坐标(x y)。我们可以用现坐标(4 6)，逆着原平移方向，先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，得到(4-3 6-2) 即(1 4)，便可求得原坐标。点平移的反推总结如下：

2 线的平移

我们在初中阶段所学的线，包括直线一次函数y=kx b(k≠0，以下一次函数中k均≠0)，双曲线反比例函数y=k/x(k≠0 以下反比例函数中k均≠0)，抛物线二次函数y=ax2 bx c（a≠0 以下二次函数中a均≠0）。这里的平移知识适合初中阶段所有的线。

我们知道线是由无数个点组成，我们可以由点的平移推出线的平移规律。

与点的平移类似，这里我们也分正推和反推两类进行讨论。正推就是求平移后的直线解析式，反推就是求平移前的解析式。

2.1 正推

我们用一次函数y=kx b来说明。首先，对于一条直线的解析式，我们可以这么理解，如果这条直线上所有的点(x y)均能使y=kx b这个等式成立，我们就可以把这个等式y=kx b看作是这条直线的解析式。

举例来说，直线y=3x 2向右平移2个单位 我们可以这么理解，对于平移后的直线，是由直线y=3x 2向右平移得到的，那么平移后的直线上的所有点，沿着直线平移的反方向（即向左平移2个单位）所得到的点，一定在原直线y=3x 2上。根据点平移的知识，所求直线上任一点(x0 y0)向左平移2个单位的点一定是(x0-2，y0)，它既然在y=3x 2上，我们可以将它代入原直线，即y0=3(x0-2) 2=3x0-4，而得到的这个等式就可以理解为平移后的直线上的任意一点(x0 y0)都能使该等式成立 那么平移后的直线就是y=3(x-2) 2=3x-4。推广到一次函数y=kx b 向右平移c个单位，就可很容易的理解。对于平移后的直线上的任一点(x y) 沿反方向平移后的点(x-c，y)，一定在原直线y=kx b上，那么平移后的直线解析式一定就是y=k(x-c) b=kx-kc b，同理直线y=kx b，向左平移c个单位后的直线一定是y=k(x c) b=kx kc b。

对于纵向平移，原理相同。直线y=kx b向上平移c个单位，平移后的直线上的任一点(x y) 向下平移c个单位的点(x y-c)一定在原直线y=kx b上，平移后的直线一定是y-c=kx b，整理为y=kx b c。同理直线y=kx b，向下平移c个单位后的直线一定是y c=kx b，整理为y=kx b-c。

对于混合平移，就是水平和纵向的结合。结合点的平移、线的水平和纵向平移知识，也容易求出。例如，y=kx b，向右移动c个单位，再向上移动d个单位，那么对于平移后直线上的所有点(x y)，反向平移后的点为(x-c y-d)，代入原直线y-d=k(x-c) b，整理为：y=kx-kc b d。

以上是一次函数的平移问题，对于反比例函数，二次函数，其原理完全相同。总结如下（注意：函数解析式最后一定要整理成标准形式）：

通过以上分析，线的平移我们可以将其总结为以下规律：线向x轴正方向移动(向右)c个单位时，只需将原解析式中的x变为x-c，其余不变；向x轴负方向移动(向左)c个单位时，只需将x变为x c，其余不变；向y轴正方向(向上)移动c个单位时，只需将y变为y-c 其余不变；向y轴负方向移动(向下)c个单位时，只需将y变为y c，其余不变；概括来说就是“正减负加”(x、y轴正方向移动是减法，负方向移动是加法)。

2.2 反推

线的反推和点的反推原理完全相同，只需沿着原平移方向的反方向倒推回去，再按照正推的方法求出即可。例如，一条直线水平向右移动c个单位，向上移动d个单位后的直线解析式为y=kx b 求原直线的解析式。我们可以把它转变为直线y=kx b，水平向左移动c个单位，向下移动d个单位，再按照线正推“正减负加”的规律，即得y d=k(x c) b，整理为y=kx kc b-d。

反比例函数和二次函数与此相同，不再一一推导，老师在教学过程中可以让学生自行推导。

二、对称

对称问题，我们也分为点的对称和线的对称。下面我们分类进行研究。

1 点的对称

和点的平移类似，我们将点的对称也分为正推和反推。顾名思义，正推就是求对称后的点坐标，反推就是求对称前的点坐标。而点的对称又可分为点关于点的对称和点关于线的对称。

1.1 正推

1.1.1 点关于点的对称

现在，我们来探讨点关于点的对称，例如求点(2 3)关于点(5 6)的对称点的坐标。

为了解决这个问题，首先我们要掌握一个知识点，线段中点的横纵坐标分别是线段两端点对应横纵坐标之和的一半。原理见下图。

对于上面的问题，我们可以假设对称后的点坐标为(x y)，则有(2 x)/2=5

(3 y)/2=6

解得x=8 y=9

即对称后的坐标为(8 9)。

同理，我们可以推出一般公式。对于点(a b)关于(m n)的对称点的坐标即是(2m-a 2n-b)。根据此公式，点(a b)关于原点(0 0)的对称点就是(2×0-a 2×0-b) 即(-a -b)。

1.1.2 点关于线的对称

点关于线的对称问题，这里的线我们只研究x轴、y轴以及平行于x轴、y轴的线。

点关于线的对称问题，其实就是点关于点的对称问题。这个隐形的点就是已知点向该直线所做垂线的垂足。如上图所示，点(a b)关于直线x=c的对称点，其实就是点(a b)关于点(c b)的对称点。

利用点关于点的对称知识，我们可以很容易的得到点(a b)关于x轴、y轴以及平行于x轴的直线y=d和平行于y轴的直线x=c的对称点，而其实x轴所在的直线就是y=0，y轴所在的直线就是x=0。点关于线的对称总结如下：

1.2 反推

点对称问题的反推就是沿着正推的反方向进行，本质仍然是点关于点和线的对称，而无需做其他改变，其原理和正推完全相同，这里不再一一讨论。

2 线的对称

和点的对称问题一样，我们也将其分为正推和反推，同时线的对称也分为线关于点的对称和线关于线的对称。

2.1 正推

2.1.1 线关于点的对称

线关于点的对称，我们可以理解为线以该点为旋转中心，旋转180度所得的线。或者线上所有点关于该点的对称点所形成的线。

求线关于点的对称，我们可以利用推导线平移的知识。我们仍然以直线y=kx b来说明，求该直线关于点(m n)的对称直线的解析式。对于对称后的直线，其上的任意一点(x y)，关于(m n)的对称点(2m-x 2n-y)，一定在y=kx b上，代入即可求出对称后的直线2n-y=k(2m-x) b，整理为：y=kx-2km-b 2n。

对于反比例函数，二次函数，原理相同。线关于点的对称总结如下：

观察表格中对称后的解析式我们会发现，一次函数和反比例函数关于点的对称，可以理解为线的平移。例如，一次函数可以理解为向下平移2km b-2n个单位，当然将y=kx-2km-b 2n整理为y=k[x-(2m 2b/k-2n/k)] b也可以理解为右平移2m 2b/k-2n/k个单位。反比例函数可以理解为y=k/x向右平移2m个单位，再向上平移2n个单位。

2.1.2 线关于线的对称

线关于线的对称，其实就是轴对称问题，第二条线就是对称轴，这里的对称轴我们只研究x轴、y轴和平行于x轴、y轴的直线。

线关于线的对称，其实利用点关于线的对称知识（点关于线的对称本质上也是点关于点的对称），再加上推导线平移的知识即可解决。我们仍然以求直线y=kx b关于直线x=c的对称线的解析式为例来说明。对于对称后的直线上的任意一点(x y)关于直线x=c的对称点为(2c-x y)一定在原直线y=kx b上，代入即可得到要求的对称直线y=k(2c-x) b，整理得y=-kx 2kc b。关于x轴、y轴和平行于x轴的对称问题与此类似。反比例函数和二次函数不再一一推导。线关于线的对称总结如下：

2.2 反推

线关于点，线关于线的反推与正推原理相同，反推的原理仍然是线关于点，线关于线的对称，这里不再讨论。

以上我们详细的探讨了点线的平移和对称问题的解决思路，并对初中阶段所学的三类函数进行了相应的总结。当然，最终的结果并不重果，不需要学生们死记硬背。作为老师，重要的是要让学生们掌握解决此类问题的方法，并能对所学过的知识进行梳理总结。养成这种良好的习惯，这对学生们以后的数学学习会大有裨益。