数学知识点梳理与点拨第四部分：必备技能高中数学

数学知识点梳理与点拨第四部分：必备技能高中数学2. 解决问题的一般方法（即基本技能）在某些集合题目中，出题人会给出一个新定义（如新概念、新运算等），然后围绕它进行题设（设问）。它们或者是作为独立的题型，或者是与其它基础应用组合在一起出题。如果是前者，则多半属于送分题J。2) 集合创新问题高中数学创新题是一个持续关注的话题。高中中，时不时会来上一道题。由于集合自身适合用来定义的特点，使其成为创新点之一。

1. 基本问题说明

集合”的基本问题主要包括：集合概念相关的问题和以集合为背景的创新问题。相关的必备知识的结构图如下（详见相关文章）：

1) 集合概念问题

无论是在选择或填空题中还是在解答题中，都可能会涉及与集合概念有关的一簇基本问题，比如判断集合和/或元素是否合规、表示集合、求解集合关系及运算、求解二维集合，等等。

它们或者是作为独立的题型，或者是与其它基础应用组合在一起出题。如果是前者，则多半属于送分题J。

2) 集合创新问题

高中数学创新题是一个持续关注的话题。高中中，时不时会来上一道题。由于集合自身适合用来定义的特点，使其成为创新点之一。

在某些集合题目中，出题人会给出一个新定义（如新概念、新运算等），然后围绕它进行题设（设问）。

2. 解决问题的一般方法（即基本技能）

1）求解集合概念问题的方法与要领

① 判断集合和/或元素是否合规

(1) 此基本问题会出现在集合有关的客观题、以及验证（检查）求解出的集合的是否合规

(2) 要领——利用三要素“确定性、互异性、无序性”来判定

(3) 互异性检查是易错点——易疏忽

② 表示集合

(1) 此基本问题多见于将求得的解(集)以恰当的集合形式表示出来，或考查对已知集合的含义的正确理解

(2) 要领：自然语言、列举法和描述法；要熟知各方法特点及其适用情形

③ 求解集合关系及运算

(1) 常出现的题型有：判断几个集合的关系、求几个集合的并集（或交集、补集等）、或者根据集合关系或运算结果反过来求集合或集合的元素

(2) 要领：熟练掌握和运用集合的基本关系和运算的定义和性质

(3) 空集是易错点——易忘或理解不到位

(4) 集合的理解是易错点——未理解集合元素的数学意义

④ 求二维集合

(1) 二维集合：该集合元素为成对的数据，如(e1 e2)；除此之外，二维集合的基本关系和运算的定义和性质与一维集合是一样的。

(2) 要领：熟练掌握和运用集合的基本关系和运算的定义和性质

2）求解集合创新问题的方法与要领

① 要领：分析、理解新定义（包括相关的概念、性质和约束）及其（数学方面的）实质意义或作用；

② 一般方法：结合集合的基础知识和特性，将新定义转化为等效的数学操作、思路或方法来求解。

3. 典型示例

例1 集合A={x|x^2-(a 2)x 2a 1=0} 求集合中所有元素之和。

解：依题意，只需分析x^2-(a 2)x 2a 1=0有解的情况，所以：

(提示：集合中方程两个解要满足互异性)

当=0时，解得a=0或4，所以x1=x2=-(a 2)/2=-1或-3，

当>0时，有x1 x2 = a 2

综上，所求集合中所有元素之和为-1、-3或a 2。

讲解：

① 不要忘记对集合的元素进行互异性判断和验证；舍去重复的。

② 举一反三：已知集合A={x，xy，lg（xy）}，B={0，|x|，y}，若A=B，试求x，y的值。

例2集合M={m|10/(m 1) ∈Z，m∈Z}的子集个数。

解：依题意 集合M={m|10/(m 1)∈Z，m∈Z}中，10的因子有：

-10 -5 -2 -1 1 2 5 10，

所以可能的m为：

m=-11 -6 -3 -2 0 1 4 9，

即M={-11 -6 -3 -2 0 1 4 9}，共8个元素，

所以M的子集个数为：

2^8=256个。

讲解：

① 一般地，正确理解集合的意义和已知条件是解题关键。本题已知式10/(m 1)实质上是利用能被10整出的各因子得到m的集合——快速理解到这点是解本题的关键。

又例如：{x|y = 1/x^2}本质上是y=1/x^2定义域，{y|y = 1/x^2}本质上是y=1/ x^2值域。

举一反三：{x|y = √x}、{y|y = √x}的实质意义？

② 举一反三：已知A={x丨x=28m 20n，m、n∈Z}，B=｛x丨x=12m 18n，m、n∈Z｝。求属于A∩B的最小正整数 并分别求出一组此时在集合A和B中的m、n的值。

例3 已知A={x|-3≤x≤5}，B={x|a 1≤x≤2a 3}，B是A的子集 求实数a的取值范围。

解：∵B是A的子集，讨论：

当B=时，a 1>2a 3 得a<-2，

当B非空时，a 1≤2a 3，得a≥-2，

由a 1≥-3，2a 1≤5，解得a≥-4 且a≤2，

综上所述，实数a的取值范围为上述两种情况的并集，得：

a≤2

讲解

① 本题中有些同学可能会遗漏空集的情况。

② 在考虑子集时，记住“空集是任意集合子集，是任意非空集合真子集”。

③ 集合本身也可作为另一个集合的元素；空集也如此。

例4 设集合A是N*的某个有限子集，集合S={（a，b）|a∈A，b∈A，a b∈A}，集合T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．则下列说法中正确的是（其中|M|表示集合M中元素个数）（）

A．|S|＞|T|， B．|S|=|T|， C．|S|＜|T|， D．不能确定

讲解：

① 本题以集合为背景的客观题，涉及集合概念基础应用相关的几个基本问题，包括二维集合相关的求解、表示、基本关系等，属基础题。

例5 若集合A具有以下性质：

(1) 0∈A，1∈A ；

(2) 若x、y∈A，则x-y∈A；且x≠0时，1/x∈A 则称集合A是“好集”.

(Ⅰ)分别判断集合B={1，0，-1}、有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；

(Ⅱ)设集合A是“好集”，求证：若x、y∈A，则x y∈A；

(Ⅲ)对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由。

命题p：若x、y∈A，则必有xy∈A；

命题q：若x、y∈A，且x≠0，则必有y/x∈A；

解：(Ⅰ) 因为-1∈B，1∈B，而-1-1=-2∈B，集合B不是“好集”。

又因为0∈Q 1∈Q 对任意的x y∈Q，有x-y∈Q，

且x≠0时，1/x∈Q，

所以有理数集Q是“好集”。

（Ⅱ）因为集合A是“好集”，所以0∈A，

又y∈A，则0-y∈A，即-y∈A，

所以x-(-y)∈A ，即x y∈A。

讲解：

① 本题是一道以集合为背景的新定义题型——新定义了一个概念“好集”。熟练掌握集合概念基础应用、集合创新基础应用以及建议逻辑（命题）概念的基础应用是准确地解答本题的前提。

② 从上述解题过程可知，这类题还是可以出得具有相当难度和复杂度的。根据上述解题过程可知，解题一般思路为：

(1) 首先得看懂定义，抓住其本质，比如本题的定义实质是给出一种集合，里面有两个特定元素，而且集合中的元素满足两个约束关系；

(2) 然后，围绕新定义进行求解或证明问题。比如本题的求解过程中，各种运算或关系并不复杂，而最关键的是围绕定义所给的特定元素及其约束关系来展开解题思路，因为所给求解问题都得符合新定义要求。

例6 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．A=（0，2），B=（1， ∞），则A#B=______．

解：（提示：根据图所示的阴影部分所表示的集合的元素属于集合A但不属于集合B，即求A∩CRB；因此可根据交集的定义和补集的定义即可求得）依题意，

讲解：

① 本题是一道以集合为背景的新定义题型——新定义了一种结合运算“#”。本题主要考查了集合表示之Venn图，集合关系和运算之求解等集合概念基础应用中的内容，属于基础题。

② 解答本题的关键在于理解新定义的运算的实际意义——即领会其本质。

例7若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：

① X属于τ，属于τ；

② τ中任意多个元素的并集属于τ；

③ τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．

已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：

①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}；

②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；

③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}；

④ τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．

其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．

解：①τ={，{a}，{c}，{a，b，c}}中

而{a}∪{c}={a，c}τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；

②τ={，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}中

满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②是集合X上的拓扑的集合τ；

③τ={，{a}，{a，b}，{a，c}}

而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；

④τ={，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．

满足：①X属于τ，属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ 因此④是集合X上的拓扑的集合τ；

故答案为②④．

讲解：

① 本题是一道以集合为背景的新定义题型——新定义了一个新概念“集合X上的一个拓扑τ”。本题属基础题，考查学生集合概念以及对新概念的理解、分析和运用能力。

② 解题一般方法

其中对新定义的概念的准确理解是解题的前提，而其解题诀窍在于紧扣概念的定义和性质——或者把它们看作待求证问题的约束，论述其是否满足；或者把它们看作待求证问题的已知条件，由此推导出结果，等等。

因此，解题一般方法为：首先，关键是正确理解新定义 – 按需画图，并枚举几个特殊值来辅助理解；然后用枚举或排列组合法求解。

例8 设全集U=｛1 2 3 4 5 6｝ 集合A B都是U的子集 若A∩B=｛1 3 5｝ 则称A B为“理想配集” 记作［A B］.这样的“理想配集”［A B］共有几个?

解：由A∩B={1 3 5} U={1 2 3 4 5 6}，说明2 4 6只能出现在A或者B或者AB中都不出现3种情况：

∴2 4 6每个都有3种选择

∴共有3×3×3=27种可能

讲解：

① 正确理解题中定义的概念“理想配集”及其实质意思，然后将其转化为熟知的数学概念或模型来进行求解。本题实质是求解一个排列组合问题 而问题的背景为集合元素。

② 举一反三：集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x-1A，x 1A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是______。

本文小结：

① 本文主要论述了集合的基本问题——集合概念相关问题与集合为背景的创新问题的求解一般方法和要领。这类题一般不太难，要求不失分。

② 集合概念相关问题中，注意三要素的符合性检查、忽略空集、理解集合的数学意义等易错点。

③ 集合为背景的创新问题中，一方面，扎实的集合基础知识是必备的；另一方面，正确理解和应用新定义是解题关键。事实上，新定义这种题型本身就决定了不易出难题，反而看上去复杂、冗长的题设的审题对有些不够耐心、细心的同学有些挑战。