论文相关性统计分析，什么是相关性分析

论文相关性统计分析，什么是相关性分析通过预试验分析得到计算模态振型，从而可以确定在关心的频带范围内布置多少个测点才能唯一地识别出所有关心的模态，防止出现空间混叠。另外也可以确定测量或激励方向，以及激励点或参考点的位置，也可以确定大致的试验带宽。在测试之前，如果有被测结构的FE模型结果可用，那么，可以为试验工程师提供有关试验方面许多有价值的信息，如测量自由度多少合适，参考点选择什么位置才能合理地观测到所有感兴趣的模态等。因此，如果在试验之前，进行预试验分析，可以优化测量，节省试验时间，提高测量质量，大幅度提高试验效率。预试验分析对于试验模态测试而言，每次试验之前，在测试工程师的头脑中总是会浮现这样的问题：使用多少个测量自由度是合适的？参考点位置布置在哪一个或哪几个位置才能不丢失模态？自由模态最合适的悬挂位置是哪里？这些问题对于测试新手或者测试从未测量的结构来说，总是会存在的。工程上也存在这样的挑战：希望对甚至是很复杂的系统用尽

经常使用两种手段来解决NVH等相关问题，即CAE仿真与试验。试验是基于包含几何、尺寸、重量、材料、刚度、阻尼等属性的实际物理模型，而CAE仿真是根据CAD模型创建的，是包含了几何、尺寸、重量、材料、刚度等属性的虚拟模型。我们总是期望CAE仿真能与试验结果具有相同的动静态特性。但这种期望有时会变成一种奢望，因为有时很难使二者保持高度的一致性。当我们直接修改FE模型时，很难使所有的模态都能与试验结果匹配上，经常存在这样的现象：想通过直接修改模型使之前不匹配的结果匹配上，但发现修改之后，之前不匹配的结果能匹配上了，但之前已匹配的结果却在修改之后匹配不上了。这是因为模型存在多种不确定性，如材料、几何、边界条件、连接方式、离散化等因素。直接修改有时很难是对最敏感的一个或多个参数进行修正，经常会顾此失彼。而相关性分析的功能之一就是模型修正，以所有模态的频率和振型等参数为目标，修正之后，获得仿真与试验高度相关的FE模型。除此之外，相关性分析还可以进行预试验分析指导试验等。

精确的FE模型可以获得准确的计算结果，以指导产品设计与风险评估。使用修正的FE模型可进一步用于其他类型的仿真分析，如谐响应分析、瞬态分析、CFD分析等。相关性分析的功能主要包含预试验分析、FE模型结果与Test结果的相关性分析和FE模型修正，如图1所示。

图1 相关性分析过程

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预试验分析

对于试验模态测试而言，每次试验之前，在测试工程师的头脑中总是会浮现这样的问题：使用多少个测量自由度是合适的？参考点位置布置在哪一个或哪几个位置才能不丢失模态？自由模态最合适的悬挂位置是哪里？

这些问题对于测试新手或者测试从未测量的结构来说，总是会存在的。工程上也存在这样的挑战：希望对甚至是很复杂的系统用尽可能少的测量获得尽可能多的信息。

在测试之前，如果有被测结构的FE模型结果可用，那么，可以为试验工程师提供有关试验方面许多有价值的信息，如测量自由度多少合适，参考点选择什么位置才能合理地观测到所有感兴趣的模态等。因此，如果在试验之前，进行预试验分析，可以优化测量，节省试验时间，提高测量质量，大幅度提高试验效率。

通过预试验分析得到计算模态振型，从而可以确定在关心的频带范围内布置多少个测点才能唯一地识别出所有关心的模态，防止出现空间混叠。另外也可以确定测量或激励方向，以及激励点或参考点的位置，也可以确定大致的试验带宽。

预试验分析的目标是从FE模型中定义最优的测量设置，包括创建由测量自由度确定的测试所用的几何模型、激励位置（参考点）和悬挂位置（如果想获得的话）等。首先将相应的FE模型得到的模态结果导入预试验分析模块，然后根据目标（如模态阶数、带宽或测量自由度数等）在FE模型上得到初始的线框几何，所有的测量位置都应是可达的，然后根据MAC公式确定在没有空间混叠情况下的最少测量自由度数。如果在现有的自由度下，MAC还有明显的非对角元素，则需要进一步扩充线框几何，然后再次评价扩展后的线框几何。扩展后的线框几何能自动消除空间混叠现象。采用驱动点留数（DPR）公式对候选的驱动点在目标模态阶数上进行计权平均，以确定最合适的激励点（参考点）。最后再将获得的线框几何导出到相应的测试软件（如Simcenter Testlab），预试验分析流程如图2所示。（这个分析思路来自于LMS Virtual Lab，如今已加入到Simcenter 3D中）。

图2 预试验分析流程

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相关性分析

如果试验结果需要与FE模型结果进行相关性分析，那么，在试验过程中应该采用精确的线框几何，因为后续相关性分析需要对齐这两个几何。

如果已经进行了试验，获得了相应的试验结果，这时又可以将试验结果与FE结果进行相关性分析。当然也可以通过肉眼对数据进行简单的检查，如模态振型视觉检查、质量对比、模态频率对比等，但是这些简单的数据检查不能明确指示二者的相似程度，也不能指示出差异出现在哪里。

将试验结果与FE模型结果进行相关性分析的第一步是对齐两个几何模型，这样才能保证FE模型中的节点与测试几何模型的测点相对应，用于进一步的相关性分析。

在FE模型与试验结果的相关性分析中，可进行以下分析：振型MAC、MACCo、CoMAC、POC、FRAC等。

模态置信准则MAC广泛用于分析FE模型结果与试验结果的模态振型的相似程度。MAC值总是介于0和1之间，值为1意味着两个模态振型向量是相似的，二者存在倍数关系。在试验过程中难免不出现丢失模态的情况，或仿真不准确导致仿真结果与试验结果差异明显，这都会导致MAC出现明显的变化。如图3所示为某结构的FE模态振型与试验振型的MAC，对角线元素的缺失指明了丢失的模态，对角线元素的变化则指明了二者模态的变化。当然，除此之外，还可以指明空间混叠现象。

图3 振型MAC指示了变化

MACCo是指MAC贡献量，用于确定每个自由度对MAC的贡献量。这些贡献量取决于自由度相对于其它自由度的位移，两个相关的节点之间位移的相对差异，测试与FE位移之间的相位等。MACCo从测试模态结果和FE模态向量中搜寻自由度对，进行移除以达到改善MAC的目的。

CoMAC是坐标MAC，与常规MAC类似，但给出的是FE模型与试验模态之间每个自由度之间的相关性。

我们知道一个系统的模态振型是关于系统的质量矩阵和刚度矩阵正交的。如果采用质量归一法进行振型缩放，那么，关于质量正交检查得到的矩阵为单位阵，而关于刚度正交检查得到的矩阵为特征值对角线矩阵。如果振型向量正交性检查中的左乘或右乘振型向量来自于另一类模型，则称这类正交性检查为伪正交检查，POC，如缩聚的FE振型向量与测试模型的振型向量关于质量或刚度的正交性检查。

FRAC是指基于FRF的相关性分析，表明分析的FRF函数与试验FRF之间的相似度，可分析每个自由度的整个频率带宽的相关性。采用这个分析可以洞悉系统整体刚度的差异，如果模态不可用时，它将是另一个相关性分析工具。当频率移动一定距离时，可通过加强某些参数达到二者一致的目的。

在进行各类MAC计算时，尽管试验与FE模型的模态振型向量的缩放比例不一定完全相同，但MAC计算要求包含的元素个数（自由度数）必须相同。但是FE模型的自由度数远大于试验的测量自由度，因此需要对FE模型进行缩聚或对试验模型进行扩阶，以达到二者自由度相同的目的。模型缩聚的方法有Guyan的静力缩聚法、O’Callahan的改进减缩系统法、Kammer的精确模态缩聚法等。关于模型扩阶可参考之前的文章《什么是模态扩展？》。

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模型修正

试验结果与FE模型相关性分析的第三个方面是对FE模型进行修正。FE模型作为系统特征的一种近似，很多时候我们使用近似或者等效方式建模，帮助我们获得正确的模型整体特性。那么在建模分析过程中的各种假设会导致FE模型与实际结构存在明显的差异，这些差异包括几何截面形状、惯性矩、材料属性（杨氏模量、密度等）、边界条件等。但总的说来，可以把FE模型不精确因素归纳为三个方面：一是模型的结构误差，这是由影响模型控制方程的一些不确定因素引起的，通常与所选择的数学模型有关。二是模型的参数误差。这是指模型的物理参数由于环境的变化和生产制造等原因存在的误差。三是模型的阶次误差。这是指有限元将实际连续的模型离散化所带来的误差[1]。

这些误差将导致FE模型的质量分布与刚度分布与实际相差明显，最终导致FE模型与试验结果相差明显。而模型修正的目的就是要检索模型中对相关性目标影响最明显的某些参数，对这些影响明显的参数执行修正流程以改善相关性，最终使得模型的质量与测试的质量相同、模态频率和振型等目标的MAC接近1。

模型修正过程类似结构优化过程，我们知道结构优化是以目标函数为目标，优化众多设计变量，最终实现优化目的。而模型修正是以FE模型与试验结果相一致为目标，以材料属性、单元属性、几何尺寸等为设计变量。常见的修正方法有最优矩阵法、灵敏度分析法、神经网络法、基于静态测量值的修正法等。

模型修正可以说又是另一门专业学科了，博大精深，在这我们仅简要的介绍灵敏度分析法。灵敏度分析法对设计变量或模态参数进行一阶灵敏度计算（梯度计算），可以对设计变量逐个检索，也可以是多个设计变量同时检索。灵敏度分析又分为直接和间接的灵敏度分析，间接灵敏度分析实际上是有限差分梯度法，依次改变每个设计变量的步长，以差分代替微分来计算。而直接灵敏度法则是对与目标相关的设计变量的偏导数进行整体梯度计算。在众多设计变量中要寻找出最敏感的设计变量，那么，通常采用所谓的响应面建模方法。数学家Box和Wilson于1951年提出来以一系列多个变量、确定性的“试验”来模拟真实极限状态曲面的方法称为响应面法，通过它可以确定模型修正最敏感的一个或几个参数。

图4 响应面建模分析示意

根据选择的修正参数，如弹性模量、截面面积、截面惯性矩、连接刚度等参数都具有明确的物理意义，但有些参数修正之后可能就没有明确的物理意义了。这些修正后的参数未必就意味着模型代表了实际的物理属性，这会使得人们难于理解。比方对一个风机叶片复合材料截面的有限元模型，物理结构有一层轻质木料内芯和每面有5层树脂纤维层。基于前12阶模态结果进行模型修正，修正后的模型研究表明轻质木料的材料属性发生了显著变化，这使得频率差异大为减少，但前提条件是树脂和纤维的材料属性是正确的。但轻质木料内核几何位置上位于平板的中性轴上，为了实现频率移动，则木料内核的刚度需要发生极大的改变。修正后的木料属性的杨氏模量基本上要达到钢的属性值。从实际角度上看，虽然这似乎是不现实的，但实际情况是使用了复合材料的有限单元近似需要这样的刚度，这样才能合理地描述模态特征。因此，这一点会使人们难以相信木质层的弹性模态居然达到了钢的大小。

实质上，用于模型修正的实测模态数据也是不完备的，因为实测只能测量一些低阶模态，存在模态截断的影响；另一方面，实测值不可避免地会受到测量和环境影响，因此，修正参数的选择对提高模型修正的质量和效率显得尤为重要。