高中数学含参数函数单调性：函数单调性的充要条件及应用

高中数学含参数函数单调性：函数单调性的充要条件及应用；f(x)为减函数的充要条件是。在某个区间上至多有孤立解，那么在这个区间上，f(x)为增函数的充要条件是利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便，但要解决单调性的逆向问题，利用单调性的充要条件更加方便。函数单调性的充要条件：（1）对于可导函数，如果方程

1. 有关结论

函数的单调性的充分条件：

一般地，设函数在某个区间有导数，如果在这个区间内

，那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y'<0，那么f(x)为这个区间内的减函数。

利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便，但要解决单调性的逆向问题，利用单调性的充要条件更加方便。

函数单调性的充要条件：

（1）对于可导函数，如果方程

在某个区间上至多有孤立解，那么在这个区间上，f(x)为增函数的充要条件是

；f(x)为减函数的充要条件是。

（2）连续函数在闭区间[a，b]与开区间（a，b）上具有相同的单调性。

2. 应用

例1. 若函数

在区间（1，4）内为减函数，且在区间（6，

）内为增函数，求实数a的取值范围。解：

，其图象开口向上，对称轴为直线

由在区间（1，4）内为减函数知对

恒成立

即

解得

由在区间（6，）内为增函数知对

恒成立

或

解得

综上，得

例2. 已知函数

在区间

上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减，且

（1）求的表达式；

（2）设，若对任意的

，不等式

恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）

，其图象开口向上

因为f(x)在区间上单调递增，在区间[-2，2]上单调递减

所以当

时，取得极值故

，得

所以

因为f(x)在区间[-2，2]上单调递减

所以对

恒成立

即

解得

又，所以b＝0

于是

所以

（2）对任意的，不等式恒成立，等价于在区间

上，

。由

，得

所以f(x)的减区间为[-2，2]

由，得

所以f(x)在区间上单调递减

当

时

故

即

解得

或

又

所以

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