数学平行四边形的判定定理初中生：判定平行四边形的五种常用方法

数学平行四边形的判定定理初中生：判定平行四边形的五种常用方法【分析】条件有平行四边形ABCD，则有AB∥CD，AD∥BC，又M、N、P、Q分別是OA，OB，OC，OD的中点，依据中位线定理，则有MN∥AB，PQ∥CD，NP∥BC，MQ∥AD，那么又可得到MN∥PQ，NP∥MQ，则四边形MNPQ为平行四边形.当然本题也可用两组对边分别相等或一组对边平行且相等来证.2.如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点M、N、P、Q分别是OA，OB，OC，OD的中点，求证四边形MNPQ是平行四边形.(2)已知DE=4，FN=3，求BN的长.【分析】(1).题中已知平行四边形ABCD，则AB∥CD，则四边形CMAN的一组边MC∥AN，当已知中四边形已有一组边平行时，我们可以考虑四边形的这组对边相等或另一组对边平行，具体用哪一种？我们再看条件分析决定，题中又已知AE⊥BD，CF⊥BD，则AE∥CF，即AM∥CN，这样四边形CMAN的两组对边平行，可判定出四边

判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四个判定定理.做题时，一定要结合题中的条件，选择恰当的方法，以达到简捷、快速的解题.下面分别进行说明.

方法一，利用两组对边分别平行判定平行四边形.(从边考虑，定义法)

1.如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.

(1)求证四边形CMAN是平行四边形;

(2)已知DE=4，FN=3，求BN的长.

【分析】(1).题中已知平行四边形ABCD，则AB∥CD，则四边形CMAN的一组边MC∥AN，当已知中四边形已有一组边平行时，我们可以考虑四边形的这组对边相等或另一组对边平行，具体用哪一种？我们再看条件分析决定，题中又已知AE⊥BD，CF⊥BD，则AE∥CF，即AM∥CN，这样四边形CMAN的两组对边平行，可判定出四边形CMAN为平行四边形.

(2)要求BN的长度，在Rt△NFB中，已有FN=3，若能求出BF的长度，利用勾股定理可求得.条件中DE=4，结合平行四边形ABCD，AD=BC，AD∥BC，得∠ADE=∠CBF，又可知∠AED=∠CFB，可证得△AED≌△CFB，∴BF=DE=4，这样在Rt△NFB中，可得BN=5.

2.如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，点M、N、P、Q分别是OA，OB，OC，OD的中点，求证四边形MNPQ是平行四边形.

【分析】条件有平行四边形ABCD，则有AB∥CD，AD∥BC，又M、N、P、Q分別是OA，OB，OC，OD的中点，依据中位线定理，则有MN∥AB，PQ∥CD，NP∥BC，MQ∥AD，那么又可得到MN∥PQ，NP∥MQ，则四边形MNPQ为平行四边形.当然本题也可用两组对边分别相等或一组对边平行且相等来证.

方法二，利用两组对边分别相等判定平行四边行(从边考虑)

3.如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，求证:四边形ADEF是平行四边形.

【分析】依据条件△ABD，△BCE是等边三角形，可知BC=BE，BA=BD，∠DBE=∠ABC=60°一∠EBA，则可得△DBE≌△ABC，可得DE=AC，又△ACF为等边三角形，AC=AF，∴DE=AF，同理可证△EFC≌△BAC，则EF=BA，而BA=AD，则EF=AD，这样可证得四边形ADEF是平行四边形.

方法三，利用一组对边平行且相等判定平行四边形(从边考虑)

4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上的两点，且AE=CF，DF∥BE，求证:四边形ABCD为平行四边形.

【分析】要证四边形ABCD为平行四边形，已有条件AB∥CD，再证AD∥BC，或AB=CD，再看条件DF∥BE，则∠DFE=∠BEF，∴∠DFC=∠BEA，而AB∥CD，可得∠DCF=∠BAE，加上AE=CF，∴△DFC≌△BEA，∴DC=AB，那么就可证得四边形ABCD为平行四边形.

5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，求证:四边形MFNE是平行四边形.

【分析】∵DF∥BE，又四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，则ED∥BF，∴四边形EBFD为平行四边形(方法一)，∴ED=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，则AE=FC，而AE∥FC，∴四边形AFCE是平行四边形(方法三)，∴AF∥CE，加上条件DF∥BE，∴四边形MFNE是平行四边形(方法一).

6.如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，DC上，作直线MN，分别交DA和BC的延长线于点E，F，且AE=CF，求证:四边形BNDM是平行四边形.

【分析】要证四边形BNDM为平行四边形，已有四边形ABCD为平行四边形，则AB∥CD，则BM∥DN，而题中有AE=CF这一条件，可以证出△EAM≌△FCN，得出AM=CN，由于AB=CD，可得BM=DN，从而可证.△EAM≌△FCN可用(∠AEM=∠CFN，∠EAM=∠ABC=∠NCF，AE=CF)证出.

方法四，利用两组对角分别相等判定平行四边形(从角考虑)

7.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DE平分∠ADC交BC于点F，求证:四边形BFDE是平行四边形.

【分析】当题中给出角的关系时，可考虑方法四，本题中由于四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，而BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE=∠CBE=1/2∠ABC，∠CDF=∠ADF=1/2∠ADC，∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF，∵∠DFB=∠C ∠CDF，∠BED=∠ABE ∠A，∴∠DFB=∠BED，加上∠CBE=∠ADF，∴四边形BFDE是平行四边形.

方法五，利用对角线互相平分判定平行四边形(从对角线考虑)

8.如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH，求证:四边形EGFH是平行四边形.

【分析】当题中出现有关对角线的条件时，可考虑方法五，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，又AO=OC，∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF，∴OE=OF，同理可得OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形.

【总结】平行四边形的判定，常见的是以上五种方法，具体证题时，结合条件灵活运用某种方法，有的题目证明方法并不只一种，我们力求简捷明了，同时也可一题多解达到熟记判定方法，提高解题能的目的。

感谢大家的关注、转发、点赞、交流！