数据结构中算法复杂度的计算过程（数据结构与算法）
数据结构中算法复杂度的计算过程（数据结构与算法）其中：注： 大O表示法仅仅只是一种粗略的分析模型，是一种估算。 它能帮我们快速了解一个算法的执行效率。注： 一般情况下，我们主要考虑算法的时间复杂度。 （因为目前计算机的内存一般都比较大）我们可以用程序指令的执行次数来估算时间复杂度。例如：public static void test1(int n) { //总执行次数 = 14 // 1（判断语句可以忽略） if (n > 10) { System.out.println("n > 10"); } else if (n > 5) { System.out.println("n > 5"); } else { System.out.println("n <= 5"); } // 1 4 4 4 for (int i
算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤。使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大。为了对算法的好坏进行评价，我们引入 “算法复杂度” 的概念。
1、引例：斐波那契数列（Fibonacci sequence）
已知斐波那契数列： ，求它的通项公式 。
求解斐波那契数列的方法有很多种，这里只介绍两种：递归法和平推法。
package com.atangbiji;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
// 输出通项F(n)
System.out.println(fib1(1));
System.out.println(fib1(2));
System.out.println(fib1(3));
System.out.println(fib1(4));
System.out.println(fib1(5));
System.out.println(fib2(70));
}
/*
* 求斐波那契数列（Fibonacci sequence）
* F(1)=1，F(2)=1 F(n)=F(n - 1) F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）的通项F(n).
*/
/*
* 方法一：递归法
* 最高支持 n = 92 ，否则超出 Long.MAX_VALUE
* @param n
* @return f(n)
* */
public static long fib1(int n) {
if (n < 1 || n > 92)
return 0;
if (n < 3)
return 1;
return fib1(n - 1) fib1(n - 2);
}
/*
* 方法二：平推法
* 最高支持 n = 92 ，否则超出 Long.MAX_VALUE
* @param n
* @return f(n)
* */
public static long fib2(int n) {
if (n < 1 || n > 92)
return 0;
//n: 1 2 3 4 5 ……
//F(n): 1 1 2 3 5 ……
long first = 1;
long second = 1;
for (int i = 3; i <= n; i ) {
long sum = first second;
first = second;
second = sum;
}
return second;
}
}
通过测试，我们可以发现：当n的取值较大时（如：n = 60），若采用递推法计算则会发现迟迟不出结果，若采用平推法计算则可以秒出结果。由此可见， 平推法的效率明显高于递推法。
2、如何评估算法的好坏？
- 正确性
- 可读性
- 健壮性：对不合理输入的反应能力和处理能力。
- 时间复杂度（time complexity）： 估算程序指令的执行次数（执行时间）。
- 空间复杂度（space complexity）： 估算所需占用的存储空间。
注： 一般情况下，我们主要考虑算法的时间复杂度。 （因为目前计算机的内存一般都比较大）
3、时间复杂度的估算
我们可以用程序指令的执行次数来估算时间复杂度。例如：
（1）函数test1
public static void test1(int n) {
//总执行次数 = 14
// 1（判断语句可以忽略）
if (n > 10) {
System.out.println("n > 10");
} else if (n > 5) {
System.out.println("n > 5");
} else {
System.out.println("n <= 5");
}
// 1 4 4 4
for (int i = 0; i < 4; i ) {
System.out.println("test");
}
}
（2）函数test2
public static void test2(int n) {
//总执行次数 = 1 3n
//1 n n n
for (int i = 0; i < n; i ) {
System.out.println("test");
}
}
（3）函数test3
public static void test3(int n) {
//总执行次数 = 48n 1
// 1 2n n * (1 45)
for (int i = 0; i < n; i ) {
for (int j = 0; j < 15; j ) { // 1 15 15 15
System.out.println("test");
}
}
}
（4）函数test4
public static void test4(int n) {
//总执行次数 = 3n^2 3n 1
// 1 2n n * (1 3n)
for (int i = 0; i < n; i ) {
for (int j = 0; j < n; j ) { // 1 n n n
System.out.println("test");
}
}
}
（5）★ 函数test5
public static void test5(int n) {
//总执行次数 = log2(n)
/*
* n = 2 执行 1 次
* n = 4 执行 2 次
* n = 8 执行 3 次
* */
while ((n = n/2) > 0) { // 倍速减小
System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数
}
}
（6）函数test6
public static void test6(int n) {
//总执行次数 = log5(n)
while ((n = n/5) > 0) {
System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数
}
}
（7）函数test7
public static void test7(int n) {
//总执行次数 = 3n*log2(n) 3log2(n) 1
// 1 2 * log2(n) log2(n) * (1 3n)
/*
* n = 2 执行 1 次
* n = 4 执行 2 次
* n = 8 执行 3 次
* */
for (int i = 1; i < n; i = i) { // i = i i = i * 2（倍速增大）
for (int j = 0; j < n; j ) { // 1 n n n
System.out.println("test");
}
}
}
4、大O表示法
为了进一步简化复杂度的计算，我们一般使用大O表示法来描述时间（或空间）复杂度。它表示的是 数据规模为n 时算法所对应的复杂度。
大O表示法的性质：
（1）可以忽略常数、常系数和低阶项。
（2）对数阶一般省略底数，统称 。
注： 大O表示法仅仅只是一种粗略的分析模型，是一种估算。 它能帮我们快速了解一个算法的执行效率。
5、常见的复杂度
其中：
- 当数据规模较小时，各复杂度对应的曲线如下图所示。
- 当数据规模较大时，各复杂度对应的曲线如下图所示。
所以，当数据规模比较大时，复杂度为 我们就很难接受了。
6、斐波那契数算法复杂度分析
（1）递归法
public static long fib1(int n) {
if (n < 1 || n > 92)
return 0;
if (n < 3)
return 1;
return fib1(n - 1) fib1(n - 2);
}
假设计算 时 和 的值已经得到，我们可以发现该函数每次执行的时间主要取决于求和运算。因此，该算法函数指令的执行次数等价于该函数被递归调用次数。
当 时，该函数的调用过程如下图所示。
所以，该函数被递归调用的次数 二叉树的节点数。
即： 。
因此，该算法的复杂度为 。
**注：**细心的同学可能会发现，当 时，函数被递归调用的次数并不完全等于 。
这里需要说明的是： 复杂度是一种估算，我们关心的不是具体的数值，而是量级和趋势。 所以， 呈指数级增长的趋势是毋庸置疑的。
（2）平推法
public static long fib2(int n) {
if (n < 1 || n > 92)
return 0;
//n: 1 2 3 4 5 ……
//F(n): 1 1 2 3 5 ……
long first = 1;
long second = 1;
for (int i = 3; i <= n; i ) {
long sum = first second;
first = second;
second = sum;
}
return second;
}
显然，平推法的时间复杂度为 。
7、算法的优化方向
（1）用尽量少的执行步骤（运行时间）。
（2）用尽量少的存储空间。
（3）根据情况，空间换时间或者时间换空间。
更多关于复杂度的知识，我们会在后续数据结构和算法的设计与实现过程中穿插讲解。
参考文献： [1] 《恋上数据结构与算法》，小码哥MJ [2] 《数据结构与算法》，邓俊辉
