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数据结构中算法复杂度的计算过程(数据结构与算法)

数据结构中算法复杂度的计算过程(数据结构与算法)其中:注: 大O表示法仅仅只是一种粗略的分析模型,是一种估算。 它能帮我们快速了解一个算法的执行效率。注: 一般情况下,我们主要考虑算法的时间复杂度。 (因为目前计算机的内存一般都比较大)我们可以用程序指令的执行次数来估算时间复杂度。例如:public static void test1(int n) { //总执行次数 = 14 // 1(判断语句可以忽略) if (n > 10) { System.out.println("n > 10"); } else if (n > 5) { System.out.println("n > 5"); } else { System.out.println("n <= 5"); } // 1 4 4 4 for (int i

算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤。使用不同算法,解决同一个问题,效率可能相差非常大。为了对算法的好坏进行评价,我们引入 “算法复杂度” 的概念。

数据结构中算法复杂度的计算过程(数据结构与算法)(1)

1、引例:斐波那契数列(Fibonacci sequence)

已知斐波那契数列: ,求它的通项公式 。

数据结构中算法复杂度的计算过程(数据结构与算法)(2)

求解斐波那契数列的方法有很多种,这里只介绍两种:递归法和平推法。

package com.atangbiji; public class Main { public static void main(String[] args) { // 输出通项F(n) System.out.println(fib1(1)); System.out.println(fib1(2)); System.out.println(fib1(3)); System.out.println(fib1(4)); System.out.println(fib1(5)); System.out.println(fib2(70)); } /* * 求斐波那契数列(Fibonacci sequence) * F(1)=1,F(2)=1 F(n)=F(n - 1) F(n - 2)(n ≥ 3,n ∈ N*)的通项F(n). */ /* * 方法一:递归法 * 最高支持 n = 92 ,否则超出 Long.MAX_VALUE * @param n * @return f(n) * */ public static long fib1(int n) { if (n < 1 || n > 92) return 0; if (n < 3) return 1; return fib1(n - 1) fib1(n - 2); } /* * 方法二:平推法 * 最高支持 n = 92 ,否则超出 Long.MAX_VALUE * @param n * @return f(n) * */ public static long fib2(int n) { if (n < 1 || n > 92) return 0; //n: 1 2 3 4 5 …… //F(n): 1 1 2 3 5 …… long first = 1; long second = 1; for (int i = 3; i <= n; i ) { long sum = first second; first = second; second = sum; } return second; } }

通过测试,我们可以发现:当n的取值较大时(如:n = 60),若采用递推法计算则会发现迟迟不出结果,若采用平推法计算则可以秒出结果。由此可见, 平推法的效率明显高于递推法。

2、如何评估算法的好坏?

  • 正确性
  • 可读性
  • 健壮性:对不合理输入的反应能力和处理能力。
  • 时间复杂度(time complexity): 估算程序指令的执行次数(执行时间)。
  • 空间复杂度(space complexity): 估算所需占用的存储空间。

注: 一般情况下,我们主要考虑算法的时间复杂度。 (因为目前计算机的内存一般都比较大)

3、时间复杂度的估算

我们可以用程序指令的执行次数来估算时间复杂度。例如:

(1)函数test1

public static void test1(int n) { //总执行次数 = 14 // 1(判断语句可以忽略) if (n > 10) { System.out.println("n > 10"); } else if (n > 5) { System.out.println("n > 5"); } else { System.out.println("n <= 5"); } // 1 4 4 4 for (int i = 0; i < 4; i ) { System.out.println("test"); } }

(2)函数test2

public static void test2(int n) { //总执行次数 = 1 3n //1 n n n for (int i = 0; i < n; i ) { System.out.println("test"); } }

(3)函数test3

public static void test3(int n) { //总执行次数 = 48n 1 // 1 2n n * (1 45) for (int i = 0; i < n; i ) { for (int j = 0; j < 15; j ) { // 1 15 15 15 System.out.println("test"); } } }

(4)函数test4

public static void test4(int n) { //总执行次数 = 3n^2 3n 1 // 1 2n n * (1 3n) for (int i = 0; i < n; i ) { for (int j = 0; j < n; j ) { // 1 n n n System.out.println("test"); } } }

(5)★ 函数test5

public static void test5(int n) { //总执行次数 = log2(n) /* * n = 2 执行 1 次 * n = 4 执行 2 次 * n = 8 执行 3 次 * */ while ((n = n/2) > 0) { // 倍速减小 System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数 } }

(6)函数test6

public static void test6(int n) { //总执行次数 = log5(n) while ((n = n/5) > 0) { System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数 } }

(7)函数test7

public static void test7(int n) { //总执行次数 = 3n*log2(n) 3log2(n) 1 // 1 2 * log2(n) log2(n) * (1 3n) /* * n = 2 执行 1 次 * n = 4 执行 2 次 * n = 8 执行 3 次 * */ for (int i = 1; i < n; i = i) { // i = i i = i * 2(倍速增大) for (int j = 0; j < n; j ) { // 1 n n n System.out.println("test"); } } }

4、大O表示法

为了进一步简化复杂度的计算,我们一般使用大O表示法来描述时间(或空间)复杂度。它表示的是 数据规模为n 时算法所对应的复杂度。

大O表示法的性质:

(1)可以忽略常数、常系数和低阶项。




(2)对数阶一般省略底数,统称 。


注: 大O表示法仅仅只是一种粗略的分析模型,是一种估算。 它能帮我们快速了解一个算法的执行效率。

5、常见的复杂度

数据结构中算法复杂度的计算过程(数据结构与算法)(3)

其中:

  • 当数据规模较小时,各复杂度对应的曲线如下图所示。
  • 当数据规模较大时,各复杂度对应的曲线如下图所示。

所以,当数据规模比较大时,复杂度为 我们就很难接受了。

6、斐波那契数算法复杂度分析

(1)递归法

public static long fib1(int n) { if (n < 1 || n > 92) return 0; if (n < 3) return 1; return fib1(n - 1) fib1(n - 2); }

假设计算 时 和 的值已经得到,我们可以发现该函数每次执行的时间主要取决于求和运算。因此,该算法函数指令的执行次数等价于该函数被递归调用次数。

当 时,该函数的调用过程如下图所示。

数据结构中算法复杂度的计算过程(数据结构与算法)(4)

所以,该函数被递归调用的次数 二叉树的节点数。

即: 。

因此,该算法的复杂度为 。

**注:**细心的同学可能会发现,当 时,函数被递归调用的次数并不完全等于 。

这里需要说明的是: 复杂度是一种估算,我们关心的不是具体的数值,而是量级和趋势。 所以, 呈指数级增长的趋势是毋庸置疑的。

数据结构中算法复杂度的计算过程(数据结构与算法)(5)

(2)平推法

public static long fib2(int n) { if (n < 1 || n > 92) return 0; //n: 1 2 3 4 5 …… //F(n): 1 1 2 3 5 …… long first = 1; long second = 1; for (int i = 3; i <= n; i ) { long sum = first second; first = second; second = sum; } return second; }

显然,平推法的时间复杂度为 。

7、算法的优化方向

(1)用尽量少的执行步骤(运行时间)。

(2)用尽量少的存储空间。

(3)根据情况,空间换时间或者时间换空间。

更多关于复杂度的知识,我们会在后续数据结构和算法的设计与实现过程中穿插讲解。

参考文献: [1] 《恋上数据结构与算法》,小码哥MJ [2] 《数据结构与算法》,邓俊辉

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