三角函数诱导公式常用添加项方法：三角函数诱导公式表格汇总

三角函数诱导公式常用添加项方法：三角函数诱导公式表格汇总第三组公式是互为相反的两个角的三角函数值的关系。由正弦、正切、余切和余割的奇函数性质，以及余弦、正割的偶函数性质，有：在几何意义上，第二组公式表示终边形成平角的两个角的三角函数关系。第二组公式是π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。一方面正切和余切都以π为最小正周期，所以tan(π α)=tanα；cot(π α)=cotα。另一方面由正弦函数和余弦函数的定义公式，以及它们在坐标平面上的意义，可以推知sin(π α)=-sinα；cos(π α)=-cosα，又由正割与余弦的互为倒数关系，以及余割与正弦的互为倒数关系，就可以知道sec(π α)=-secα；csc(π α)=-cscα。

三角函数的诱导公式一共有54个，其中绝大多数公式又有角度制和弧度制两种表达形式，将这些公式分为六组，每组中的公式具有类似的规律。通过分类归纳，有利于更系统地掌握这些诱导公式。不管是哪一组公式，都要先设一个任意角度α，围绕着这个α来表示这些公式。以下以弧度制为例，介绍各组公式的详情。

第一组公式完全就是周期性的运用，因为常用的三角函数有相同的周期2kπ（k为任意整数），但2kπ未必是唯一的周期。不过根据周期函数的定义，都有：

sin(2kπ α)=sinα；cos(2kπ α)=cosα；tan(2kπ α)=tanα；cot(2kπ α)=cotα；sec(2kπ α)=secα；csc(2kπ α)=cscα。（k∈Z）

在几何意义上，第一组公式表示终边相同的角，三角函数值都相等。

第二组公式是π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。

一方面正切和余切都以π为最小正周期，所以tan(π α)=tanα；cot(π α)=cotα。

另一方面由正弦函数和余弦函数的定义公式，以及它们在坐标平面上的意义，可以推知sin(π α)=-sinα；cos(π α)=-cosα，又由正割与余弦的互为倒数关系，以及余割与正弦的互为倒数关系，就可以知道sec(π α)=-secα；csc(π α)=-cscα。

在几何意义上，第二组公式表示终边形成平角的两个角的三角函数关系。

第三组公式是互为相反的两个角的三角函数值的关系。由正弦、正切、余切和余割的奇函数性质，以及余弦、正割的偶函数性质，有：

sin(-α)=-sinα；cos(-α)=cosα；tan(-α)=-tanα；cot(-α)=-cotα；sec(-α)=secα；csc(-α)=-cscα.

在几何意义上，第三组公式表示终边关于始边对称的两个角的三角函数关系。

第四组公式是π-α和α的三角函数值之间的关系，由第三组公式结合第二组公式推得，即：

sin(π-α)=sinα；cos(π-α)=-cosα；tan(π-α)=-tanα；cot(π-α)=-cotα；sec(π-α)=-secα；csc(π-α)=cscα.

在几何意义上，第四组公式表示互补的两个角的三角函数关系。

第五组公式是2π-α和α的三角函数值之间的关系，由第一组公式和第三组公式推得，即

sin(2π-α)=sin(-α)=-sinα；cos(2π-α)=cos(-α)=cosα；tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα；cot(2π-α)=cot(-α)=-cotα；sec(2π-α)=sec(-α)=secα；csc(2π-α)=csc(-α)=-cscα.

在几何意义上，第五组公式表示两个角的和是周角时，两者的三角函数关系。

最后一组公式是π/2±α 以及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系，很明显，这里面又可以分成四种情况：

(1)π/2-α 与α的三角函数值之间的关系：由三角函数最原始的定义，在直角三角形中，两个锐角的三角函数有如下关系：

sin(π/2-α)=cosα；cos(π/2-α)=sinα；tan(π/2-α)=cotα；cot(π/2-α)=tanα；sec(π/2-α)=cscα；csc(π/2-α)=secα.

如果认为钝角的余角是负角度的话，那么它们表示互余的两个角的三角函数关系。(不过一般认为钝角没有余角)

(2)π/2 α 与α的三角函数值之间的关系，由公式(1)结合第四组公式推得，即：

sin(π/2 α)=cosα；cos(π/2 α)=-sinα；tan(π/2 α)=-cotα；cot(π/2 α)=-tanα; sec(π/2 α)=-cscα；csc(π/2 α)=secα.

在几何意义上，表示终边互相垂直的两个角的三角函数关系：(终边互相垂直有两种情形)

(3)3π/2-α与α的三角函数值之间的关系，由公式(1)结合第二组公式推得，即：

sin(3π/2-α)=-cosα；cos(3π/2-α)=-sinα；tan(3π/2-α)=cotα；cot(3π/2-α)=tanα；sec(3π/2-α)=-cscα；csc(3π/2-α)=-secα.

在几何意义上，表示终边关于y=-x对称的两个角的三角函数关系：

(4)3π/2 α与α的三角函数值之间的关系，由公式(2)结合第二组公式推得，即：

sin(3π/2 α)=-cosα；cos(3π/2 α)=sinα；tan(3π/2 α)=-cotα；cot(3π/2 α)=-tanα；sec(3π/2 α)=cscα；csc(3π/2 α)=-secα.

在几何意义上，表示终边互相垂直的两个角的三角函数关系的另一种情形：

最后把这些诱导公式全部归纳成表格如下：

这个表格包括行标题：组别，弦度，以及对应的六种常用三角函数。列标题是组别序号，副标题是各弧度。按照第一行第一列是sinα算起，如果要知道cos(2π-α)对应的诱导公式，就找到第五行第二列对应α的三角函数，这个函数是cosα，因此cos(2π-α)=cosα。把表设计成这种形式，会更简洁，且便于查阅。