样本方差为啥是除以n-1而不是n：为什么样本方差的分母是
样本方差为啥是除以n-1而不是n：为什么样本方差的分母是===================== 答案的分割线 =====================================================================================================要回答这个问题，偷懒的办法是让困惑的题主去看下面这个等式的数学证明：但是这个答案显然不够直观（教材里面统计学家像变魔法似的不知怎么就得到了上面这个等式）。下面我将提供一个略微更友善一点的解释。
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为什么样本方差（sample variance）的分母是 n-1？
上面有答案解释得很明确，即样本方差计算公式里分母为的目的是为了让方差的估计是无偏的。无偏的估计(unbiased estimator)比有偏估计(biased estimator)更好是符合直觉的，尽管有的统计学家认为让mean square error即MSE最小才更有意义，这个问题我们不在这里探讨；不符合直觉的是，为什么分母必须得是而不是才能使得该估计无偏。我相信这是题主真正困惑的地方。
要回答这个问题，偷懒的办法是让困惑的题主去看下面这个等式的数学证明：
但是这个答案显然不够直观（教材里面统计学家像变魔法似的不知怎么就得到了上面这个等式）。
下面我将提供一个略微更友善一点的解释。
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===================== 答案的分割线 ===================================
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首先，我们假定随机变量
由此可得
因此
这个结果符合直觉，并且在数学上也是显而易见的。
现在，我们考虑随机变量的数学期望是未知的情形。这时，我们会倾向于无脑直接用样本均值
如果直接使用
这是因为：
换言之，除非正好
而不等式右边的那位才是的对方差的“正确”估计！
这个不等式说明了，为什么直接使用会导致对方差的低估。
那么，在不知道随机变量真实数学期望的前提下，如何“正确”的估计方差呢？答案是把上式中的分母换成，通过这种方法把原来的偏小的估计“放大”一点点，我们就能获得对方差的正确估计了：
至于为什么分母是 而不是
via：魏天闻（知乎）
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