三角测量法基本公式（如何精确测量地月距离）

三角测量法基本公式（如何精确测量地月距离）如图3所示，MN是地球赤道面上的直径，B点（柏林）的纬度为α1（角MOA=α1）、月亮的天顶距为β1（角ABE=β1），C点（好望角）的纬度为α2（角MOD=α2）、月亮的天顶距为β2（角DCE=β2）。设角BEO=θ1，角CEO=θ2，地球半径为r，地月球心距离为d。图3图2如图2所示，O、E分别是地球和月球球心，从E点引出一条切线（该切线与柏林、好望角处于同一经度上）与地球相切于P，设地球半径为r，角OEP=θ，地月球心距离为d。则地月距离：d=OE=r/sinθ……①

在古希腊天文学家喜帕恰斯巧妙利用三角测量法粗略计算出地月距离之后大约1900年，法国天文学家拉卡伊（1713-1762）和他的学生拉朗德（1732-1807）利用三角测量法首次精确计算出地月距离。

1752年，20岁的拉朗德来到柏林（地理位置：东经13.40°，北纬52.52°），当时，他的老师拉卡伊正在非洲南端的好望角（地理位置：东经18.47°，南纬34.36°）。这两个地方经度相差5°，纬度相差86.88°。他们同时在这两个地方进行观测，首次用三角法来精确测定月亮的距离。

如下图1所示，当夜幕降临时，月亮从地平线上越升越高，当它到达最高点，即图中的E点。这时拉朗得在B点（柏林）测出月亮的天顶距β1（即离开头顶方向的角度），它用角ABE表示，拉卡伊在C点（好望角）测出月亮的天顶距β2（即离开头顶方向的角度），它用角DCE表示。圆弧BC所对应的圆心角BOC，正好等于B、C两地之间的纬度差，即柏林与好望角之间的纬度差。因为OC=OB=地球半径，角COB已知，所以BCO=角CBO=（180-角COB）/2，BC的长度也可以求出来。又角DCE、角ABE、角BCO、角CBO的大小都已知了，于是角ECB与角EBC的长度也能很容易求出来。这时三角形ECB的底边BC与两个底角ECB、EBC都是已知的，月地距离EC与EB就能很容易求出来了。

如果要计算出地球圆心到月球圆心的距离，也即图1中EO的长度，可以用下面的方法进行求解。

图2

如图2所示，O、E分别是地球和月球球心，从E点引出一条切线（该切线与柏林、好望角处于同一经度上）与地球相切于P，设地球半径为r，角OEP=θ，地月球心距离为d。

则地月距离：d=OE=r/sinθ……①

图3

如图3所示，MN是地球赤道面上的直径，B点（柏林）的纬度为α1（角MOA=α1）、月亮的天顶距为β1（角ABE=β1），C点（好望角）的纬度为α2（角MOD=α2）、月亮的天顶距为β2（角DCE=β2）。设角BEO=θ1，角CEO=θ2，地球半径为r，地月球心距离为d。

在三角形EOB中，根据正弦定理，则有：

r/sinθ1=d/sin（Π-β1）=d/sinβ1……②

由式子①②可得：sinθ1=sinβ1*sinθ……③

将θ1=β1-角EOB=β1-（α1-角EOM）=β1-α1 角EOM代入式子③中，可得：

sin（β1-α1 角EOM）=sinβ1*sinθ……④

在三角形EOC中，根据正弦定理，则有：

r/sinθ2=d/sin（Π-β2）=d/sinβ2……⑤

由式子①⑤可得：sinθ2=sinβ2*sinθ……⑥

将θ2=β2-角EOM=β2-（α2 角EOM）=β2-α2-角EOM代入式子⑥中，可得：

sin（β2-α2-角EOM）=sinβ2*sinθ……⑦

考虑到θ1（β1-α1 角EOM）、θ2（β2-α2-角EOM）两角很小，这两个角的正弦值近似等于这两角的值，于是式子④与式子⑦变为：

β1-α1 角EOM=sinβ1*sinθ

β2-α2-角EOM=sinβ2*sinθ

两式相加可得：sinθ=（β1 β2-α1-α2）/（sinβ1 sinβ2）

拉朗德与拉卡伊求得的结果是 = 57′，与 近代测得的数值57′2.6″ 相当接近，从而求得：

d=r/sinθ=r/sin57″≈60.3r。

好了，这一讲就到这里了。

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