二元一次方程解法从零开始学（你仅仅知道韦达定理么）
二元一次方程解法从零开始学（你仅仅知道韦达定理么）左右对应相等，得：R S=8；RS=12，将右侧展开得：X²－8X＋12=X²－(R S)X RS，有请第一位选手登场，掌声欢迎罗教授！为了更加形象直观，我们通过一个例子来说明该方法。对于一元二次方程：X²－8X＋12=0，先假设该方程的根是R和S，那么必会有：X²－8X＋12=（X－R）（X－S），
2019年末，一则数学新闻在网络上炸了，炸裂的原因是“一元二次方程”又有了新解法！
众所周知，一元二次方程本属于初中的数学知识，其解法有配方法，因式分解法，公式法等。各类方法中，配方法有其硬核的讨论，公式法有其复杂的造型，还有飘逸的因式分解法，其神秘的气质令初中生又爱又恨！一元二次方程的解法已然成为数学基础的基础，如此基础的的方法竟然在21世纪又诞生了新解法，势必会赚足了眼球！
“一元二次方程新解法”的发明人叫罗伯森，是卡内基梅隆大学华裔数学教授、美国奥数教练，并且罗伯森教授表示：“如果这种方法直到今天都没有被人类发现的话，我会感到非常惊讶，因为这个课题已经有4000年的历史了，而且有数十亿人都遇到过这个公式和它的证明。”
事实上，在古代，全世界的数学家对一元二次方程都有研究，虽然也没有一模一样的方法出现，但是究其内涵，有些古代的解法与罗教授的解法可谓是大同小异。原因也不难想，古代的数学家们没有韦达，更没有代数的符号记法，而现如今罗教授的解法确实有“踩肩膀”的嫌疑。那么这个方法到底含金量多高，我们不做量化的评断，不妨为大家带来一场一元二次方程的解法PK，我们一起来欣赏一下古今数学大神的精彩表演。
2019年的新解法有请第一位选手登场，掌声欢迎罗教授！为了更加形象直观，我们通过一个例子来说明该方法。
对于一元二次方程：X²－8X＋12=0，先假设该方程的根是R和S，
那么必会有：X²－8X＋12=（X－R）（X－S），
将右侧展开得：X²－8X＋12=X²－(R S)X RS，
左右对应相等，得：R S=8；RS=12，
关键的部分来了，由于刚刚得到它们的和是8，则R和S的平均数是4，故方程的根可设为4 K，4-K，又因为RS=12，则（4 K）（4-K）=12，则16-K²=12，则K=2（-2也是一样的结果），从而得到方程的两个根，4 2=6和4-2=2。方程解完！对于二次项系数不是1的情况，就先把二次项系数化为1，然后再进行以上操作。
当这个解法公之于众之后，各地纷纷发来声音，有人说这个解法简直太好了，再也不用死记硬背那个变态的公式了，再也不用苦苦的寻找那个配方的小尾巴了。当然也有来自中国学生的声音：这不就是十字相乘法嘛，解个方程哪要这么多步，我们需要的不是如何解方程，而需要如何短时间，正确的解方程！还有人认为，这就是韦达定理的小应用而已，并且韦达定理的表现形式要更为一般化。
无论如何，我们不得不佩服罗教授思维的新颖性，可谓“旧知识”和“新逻辑”的巧妙结合！
古阿拉伯的解法提到古阿拉伯数学，不得不提一个重量级人物--阿尔·花剌子模。“代数”一词本源于公元825年的一本用阿拉伯语写的书名，其作者就是花剌子模。没错，他就是我们今天登场的第二位选手。实话实说，当第一次看到罗教授的解法的时候，本人第一时间想到的就是阿尔·花剌子模，这个阿拉伯人对方程的理解简直是登峰造极！
阿尔·花剌子模在书中提出一个问题：“一个平方和十个这个平方的根等于三十九个迪拉姆，它是多少？”是不是看起来太绕了？由于当时代数符号根本没有发明，古代数学的方程只能靠文字去描述，我来帮大家解释一下，设这个数是X，那么“平方”就是X²，“平方的根”就是将X²在开方，故“平方的根”是指“X”，“十个这个平方的根”就是10X，问题转化为求方程：X² 10X=39的解。（不得不佩服数学符号对数学的意义，如此简短的符号和冗长的文字形成了鲜明的对比！）
花剌子模给出的解法是：（注意：下文中的“根”，不指现如今方程的根，而指平方根）
①将根的个数减半。本题中，是将10减半，故得到5；
②用5乘自己，再加39，得到64；
③取64的根，即将64开方，得到8；
④再从中减去根的个数的一半，即再用8去减5，得到3，方程解完。
有些小朋友发现了问题，因为一元二次方程的根有2个，这都丢解了啊！莫要慌张，大数学家怎么能犯这么低级的错误呢，由于当时的人们普遍不接受负数，自然没有考虑负的情况。如果可以出现负数，那么在③的时候，将64开方，直接得到±8，然后再都去减5，自然得到了两个根，3和﹣13。今天借用历史传统，我们这里仍然不谈负数的情况，指考虑平方根的正根情况。
下面对花剌子模的解法套上今天算式：
我们也可以看出，花剌子模所研究的方程就是二次项系数为1的二次方程，即x² bx c=0，把上述方程的解法套上系数为字母的情况：
如果考虑到正负两个平方根，再考虑到二次项系数不为1的情况，这就是现代版的求根公式！
当第一次看到花剌子模方程解法的时候，本人是非常的不淡定，这种解法怎么能够想到呢？简直太需要脑洞了，不仅我这么想，相信与他同时代的人也都有此疑问，所以花剌子模并没有止步于此，他觉得应该为大家做出一个合理解释，于是他想到了一个证明方法，并且考虑到其他同仁的知识水平，这个方法必须大家都能接受，事实上，他找到了，这个方法就是几何法，没有什么比图形更容易让人理解了！
方法如下：①构造一个边长为X的正方形，和一个长和宽分别是X和10的长方形，那么它们的面积之和便是X² 10X；
为了解X² 10X=39这个方程，就是当图形面积是39的时候，边长X是多少？
②将矩形一分为二，也就是分成2个5X，然后将其中的一个5X平移到下方。此时的面积仍为39；
③将右下角缺失的正方形补全，容易知道虚线的小正方形边长为5，面积为25；
④此时大正方形的面积为39 25=64，那么大正方形的边长即为8，再将8减去5自然求得X=3。解毕！
可以看出在花剌子模的计算方法中，每一步都和他的几何证明严格对应，让人心服口服！花剌子模后，许多数学家也都在研究二次方程，从9世纪到16世纪，凡是关于代数的书几乎都是以“X² 10X=39”这个为开始去讨论方程，如果二次方程界要拜祖师爷的话，那么花剌子模必定是第一人选！
中国古代的二次方程我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之，秦九韶等大家都耳熟能详的名字，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌。既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！对于中国的二次方程的解法，我们大致介绍两个时间节点的贡献，第一，《九章算术》，第二，《勾股圆方图》。
①《九章算术》卷九，中有一题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门一十四步折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何？答曰：二百五十步。”
翻译：如图，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木，求小城的边长．
原文也给出了解法：“以出北门步数（20）乘西行步数（1775）倍之为实，并出南门步数（14）为从法，开方除之，即邑方。”上文中的“实”指的是常数项，“从法”为一次项系数。从而可得二次方程：X² (20 14)X-2·20·1775 = 0。至于这个方程是如何解出的，文中只有“开方除之”就把这个方程解决了，留给后人无限的遐想！当然这也非常符合《九章算术》的一贯作风，给个问题，配个答案，剩下的自己去想！后来刘徽在给《九章算术》作注的时候，也只是对为什么要如此列方程做出了合理的解释，至于如何解方程，依然是没有提及。
②公元3世纪的数学家赵爽在注《周髀算经》的时候，不仅给出了勾股定理的完美几何证明，同时也给出了二次方程的解法！其中的一段论文说：“其倍弦为广袤合，令勾、股见者自乘为其实。四实以减之，开其余所得为差，以差减合，半其余为广，减之于弦，即所求也。”
这里对抽象的文言不做过多解释，如果方程可以写成：X²-bX c=0的形式，则方程的根为X=（b-√b²-4c）/2。可以看出，这几乎就是二次方程的求根公式，是二次项系数为1的时候。更厉害的，“其倍弦为广袤合”指的是两根的和为b，“令勾、股见者自乘为其实”指的是两根之积为c。说的就是根与系数的关系，完全是简配版的“韦达定理”，要知道这个结论可比韦达要早1300多年，所以也有人称赵爽为“中国的韦达”。
求根公式的发现世界各地对二次方程的研究均有所涉及，那么我们所熟悉的二次方程求根公式是何时才问世的呢？说出来可能会吓您一跳，直到1768年，大数学家欧拉在《代数学入门》中给出了现在中学课本中的求根公式，这也是这个公式的首次问世。
虽然各路大神对二次方程都有独到的见解，但始终难有一个万能的公式去“一统江湖”，甚至在16世纪50年代，韦达已经提出了“韦达定理”，完美诠释了根与系数的关系，18世纪初，牛顿提出了二次方程的根与其判别式之间的关系。求根公式为什么却迟迟没有问世？
其实摆在数学界面前的有两座大山，一个负数，一个是虚数。几千年来，人们普遍不接受这两个“怪物”的存在，在计算中尽可能的去回避它们。比如负数，生活中真的看不见，摸不着，自然就不需要它们的存在。又比如虚数，那看起来更缥缈了，什么数的平方是-1？自然是没有的，本来负数就够牵强了，何况还要对它进行开方运算！问题就卡在了这里，如果接受了负数，就必须让负数拥有“合理的”开方运算，否则数学体系将不完备。人们一直在回避它们，然而它们又像幽灵一样，在计算中总是让人避之不及。
直到19世纪中期，数学家对代数方法的研究越来越完善，代数方程的研究演变成代数系统的研究，人们终于接受了负数和虚数，那么求根公式就应运而生！
从二次方程的历史中我们可以看出数学发展的趋势，在古时候，人们是为了解决一个问题而去做的数学研究，而现代数学目的是研究某种体系和结构，数学的进步在于其体系的逐渐完善，而不是仅仅是解题方法的增多！
