古今中外数学发展史知识（自相似理论的形成和发展史实考源）

古今中外数学发展史知识（自相似理论的形成和发展史实考源）1967年，芒德勃罗在权威期刊《科学》上发表了一篇题为“大不列颠的海岸线有多长”的划时代论文。他在论文中以海岸线长度问题为突破口，引入了分数维数和统计自相似性两个重要的数学概念，并指出严格意义上的自相似图形在大自然界其实是很少见的，但统计意义上的自相似性图形却可以经常碰到，海岸线形状就是这种特殊类型图形的典型代表。统计特征的引入使得自相似性的描述更加清晰，从而进一步充实和完善了自相似理论。自相似理论作为分形几何的核心内容，把它与大自然界的具体现象对接，将有效地推动分形几何的创立。事实证明，芒德勃罗在八年后，正是以这篇论文的思想为基础，出版了第一本分形几何专著《分形对象: 形、机遇和维数》，系统地阐述了包含自相似理论在内的分形理论的内容、思想、方法和意义，标志着分形几何的诞生。1946年，莫兰在研究区间的可加函数和豪斯多夫测度时，将集合论融入自相似现象，给出了清晰的自相似集概念，从而初步形成

自相似理论是分形几何的核心思想，梳理它的形成和发展历程对完善分形几何的历史有着重要的意义。自相似思想古已有之，在古代数学、哲学、医学等领域中均有相应的阐述，不过它们在论述上都比较婉约含蓄。直到17世纪末，莱布尼茨以直线为研究对象，率先给出了自相似思想的核心架构——部分和整体的相似关系，才开启了自相似思想理论化的进程。莱布尼茨不仅从直线形状的角度陈述了自相似性的本质特征，他还在专著《单子论》中特别指出，世界的每一个小部分都精确地具有大部分的复杂程度和组织方式，这已和现今的自相似思想基本一致，但较为抽象。

莱布尼茨关于直线自相似性的描述虽然开启了自相似思想理论化的进程，但并没有改变自相似思想的抽象性，所以在理解和传播上存在着一定困难，也难以形成统一的理论。为了将抽象的思想具体化，寻找具体的自相似集就成了数学家们努力的目标。

自相似性是分形最本质的特征，因此分形集在一定程度上也可称为自相似集。自相似集和自相似理论一脉相承，自相似集是自相似理论形成的前提和基础，自相似理论是自相似集的发展和延续。故而探讨一些经典自相似集的来龙去脉，将有助于厘清自相似理论的形成和发展过程。

康托尔三分集是一个完备但处处不稠密的病态集合，由无穷多个非均匀分布的点组成，局部和整体彼此相似，作为分形早期的经典例子，它是第一个呈现出显著自相似特征的自相似分形集。然而，由于数学家们关注的重点，集中在研究三角级数的不收敛点集和无限集理论，致使康托尔三分集的自相似性未受到应有的重视。科赫曲线是使得自相似性第一次受到关注的自相似集合。1904年，科赫用较为简洁的方法，成功构造了一条基于几何直观表示且处处不可切的连续曲线。科赫曲线诞生后很快就引起了数学家们的兴趣，切萨罗在论文发表后的第二年就专门撰文对此进行评论。他不仅对这条曲线大加赞赏，还第一次提炼出了整体与部分的相似性质，亦即自相似性。

此外，谢尔宾斯基在1915年构造了具有严格自相似性的谢尔宾斯基三角形；门格尔在1926年从立体的视角构造另一著名自相似分形集——门格尔海绵。众所周知，自相似只不过是相似的一种特殊类型，但它却在分形的产生过程中扮演着重要角色，这在很大程度上应归因于自相似理论的形成。

康托尔集和科赫曲线都是部分与整体相似的自相似集，但它们产生的初衷都是为了解决各自领域中的有关问题，因此数学家们均未意识到这种整体和部分相似特征的重要性。直至切萨罗撰文对科赫曲线进行评论，自相似性才逐渐进入了数学家们的视野。谢尔宾斯基和门格尔进一步给出了基于二维平面和三维立体的两个自相似集，不过尚未对自相似的本质性质进行系统研究。

莱维是对这个问题研究做出了开创性贡献的法国数学家。1938年，他在参数思想的指引下，发表了题为“由部分和整体相似组成的平面或空间的曲线和曲面”的论文，通过引入曲线阶数和面积测度等概念，由曲线到曲面，从低维到高维，对自相似性进行了系统剖析。他将自相似现象由具体演绎到抽象，由现象深化到本质，由特殊推广到一般，但仍留下了一些遗憾，如集合论在当时已经相当成熟，但他却没有将集合论的思想融入自相似理论的研究。

1946年，莫兰在研究区间的可加函数和豪斯多夫测度时，将集合论融入自相似现象，给出了清晰的自相似集概念，从而初步形成了自相似理论的雏形。这比莱维在自相似理论的研究上又更进了一步。不过，稍显遗憾的是莫兰只从纯数学的角度提出了自相似集，还未将它与大自然界中的现象联系，进行更深入地分析。那么，谁将自相似理论与大自然中的现象结合？这个结合又将产生怎样的影响？

1967年，芒德勃罗在权威期刊《科学》上发表了一篇题为“大不列颠的海岸线有多长”的划时代论文。他在论文中以海岸线长度问题为突破口，引入了分数维数和统计自相似性两个重要的数学概念，并指出严格意义上的自相似图形在大自然界其实是很少见的，但统计意义上的自相似性图形却可以经常碰到，海岸线形状就是这种特殊类型图形的典型代表。统计特征的引入使得自相似性的描述更加清晰，从而进一步充实和完善了自相似理论。自相似理论作为分形几何的核心内容，把它与大自然界的具体现象对接，将有效地推动分形几何的创立。事实证明，芒德勃罗在八年后，正是以这篇论文的思想为基础，出版了第一本分形几何专著《分形对象: 形、机遇和维数》，系统地阐述了包含自相似理论在内的分形理论的内容、思想、方法和意义，标志着分形几何的诞生。

1980年，芒德勃罗利用计算机绘制了以他名字命名的集合，该集合完美呈现了局部和整体的相似特征，被誉为“上帝的指纹”。此外，哈钦森在1981年，借助函数的压缩映射，在自相似集的基础上定义了不变集，进一步发展和完善了自相似理论。巴恩斯利则在1985年，把基于自相似理论的迭代函数系与计算机技术融合，创造了分形图像压缩技术，推动了自相似理论的具体应用。

摘自：江南等. 自相似理论的形成和发展史实考源[J]. 中国科技史杂志 2019 40(03):366-375.