傅里叶级数的解题方法（数学分析之幂级数与傅里叶级数）

傅里叶级数的解题方法（数学分析之幂级数与傅里叶级数）幂级数的收敛域与和函数

上一篇讲到一般的无穷级数理论。就具体运用到的表达函数而言，由两类特殊的函数项级数是十分重要的：幂级数与三角函数。

幂级数是多项式的推广，是无穷次的多项式，它的收敛域很特别，是以某点为中心的区间，而且在收敛区间内，和函数是无穷次可微的。

三角级数是一种特殊形式的三角函数的无穷和，用三角级数表示的函数可以是不可微的，甚至不连续，因此表达的函数范围广。

由于幂级数使用简单，以此幂级数与三角级数各有所长，不可互相替代。

幂级数的收敛域与和函数

• 幂级数：Σan(x-x0)^n = a0 a1(x-x0) a2(x-x0)^2 ... an(x-x0)^n ... ;其中an属于R，称为幂级数的系数
• 幂级数的收敛性：
• 1）阿贝尔第一定理：若幂级数在x1收敛，则在x属于|x1|下，该幂级数都绝对收敛；若级数在x2发散，则对一切x>|x2|，幂级数都发散
• 2）收敛半径下的定理：幂级数收敛半径R下，(-R R)绝对收敛，[-R R]外都发散，在正负R处可能收敛可能发散
• 3）给定幂级数Σan(x-x0)^n，如果lim |(an 1)/an| = p，或lim 3√|an| = p，则收敛半径R =1/p
• 幂级数和函数的分析性质：
• 1）阿贝尔第二定理：关于收敛与一致收敛的定理
• 2）连续性
• 3）逐项求导与逐项积分
• 幂级数的运算：
• 1）两个幂级数相等的概念，同次幂项系数相等
• 2）和函数是奇函数，则不出现偶次幂的项，反之亦然
• 3）两个幂级数的和与乘积
• 函数幂级数的展开：
• 1）泰勒展开
• 2）麦克劳林展开
• 3）拉格朗日型余项
• 4）柯西型余项
• 5）常用的几个初等函数的幂级数展开