反比例函数的图像及性质（反比例函数图像性质）

反比例函数的图像及性质（反比例函数图像性质）纵坐标和横坐标乘积性质。由于等式y=k/x， k≠0，x不能为0，y也不能为0，因此，反比例函数图像不会与x轴相交，也不会与y轴相交，只能无限接近x轴或y轴。当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而增大。k>0时，当x<0时为减函数，当x>0时为减函数；k<0时，当x<0时为增函数、当x>0时为增函数。相交性质。

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x 或xy=k (k为常数，k≠0)的形式，则称y是x的反比例函数。其中，k为反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数（因变量）。x的取值范围是不等于0的一切实数，由于分式y=k/x，自变量X的取值范围是X≠0，y也不会等于0。

反比例函数图像的性质总结如下。

单调性质。

当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而减小。

当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，当x<0时为减函数，当x>0时为减函数；k<0时，当x<0时为增函数、当x>0时为增函数。

相交性质。

由于等式y=k/x， k≠0，x不能为0，y也不能为0，因此，反比例函数图像不会与x轴相交，也不会与y轴相交，只能无限接近x轴或y轴。

纵坐标和横坐标乘积性质。

k的绝对值表示x轴与y轴坐标围成的矩形面积。在双曲线图像上各取一点，过点分别作x轴，y 轴的平行线，平行线与坐标轴围成的矩形面积为一个定值|k| ，这是由于x×y为定值的原因。

当k值相等时，两个反比例函数图像会重合，k值不相等，两个反比例函数图像永不相交。

|k|越大，反比例函数图像离坐标轴的距离越远。

对称性质。

反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。对称轴有两条，即第一、三或二、四象限角的平分线。对称轴的表达式为y=x和y=-x。对称中心是坐标原点。

推论：若正比例函数y=kx与反比例函数交于A、B两点，则A B两点关于原点对称。

如果两个函数存在相同的x、y的值，这个相同的x、y的值就是一次函数y=ax b 与反比例函数y=k/x图像的交点坐标。

即ax b=k/x ，此式可化为ax2 bx-k=0

当一元二次方程的△>0，表示一次函数和反比例函数图像有两个交点。如果△<0，则表示一次函数和反比例函数没有交点。如果△=0，则表示一次函数和反比例函数有一个交点。

平移性质。

对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数m(m为常数)，相当于将双曲线图像向左或右平移一个单位。（口诀：左加右减）。

反比例函数性质的意义及应用。

在数学中的应用。过反比例函数图像上任意一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，则两垂足、原点、P点构成一个矩形，矩形的面积为k的绝对值。同时，过反比例函数图像上的任意一点作垂线，并连接原点，三角形的面积为k绝对值的二分之一。

在反比例函数中，比例系数k有重要的几何意义。在解答有关反比例函数的数学问题时，灵活运用k的几何意义有重要价值。下面就是几个例子，作为参考。

例1、已知一次函数y=-x 6和反比例函数 y=x/k（k≠0）

（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？（参考答案：k<9且k不等于0）

（2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。（参考答案：当k<0时，两交点分别在第二和第四象限，所以∠AOB是钝角）

例2、在反比例函数图像上有一点P（m， n），其坐标是关于t的一元二次方程 t² 3t k=0的两根直线，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．（参考答案：反比例函数的解析式为y=-2/x）

例3、一矩形的面积为24，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。

例4、直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求双曲线的解析式（参考答案：双曲线的解析式为xy=-6）

反比例函数在物理学中也有广泛的应用。控制变量方法中，某个因素一定，因变量与自变量之间也有反比例关系，只是反比例的意义还是与数学有一定的区别。现就反比例函数在力学和电学中的应用各举一例。

密度计原理。密度计是由上部刻有刻度的玻璃管和下部装有水银或铅粒的玻璃泡构成。它是利用物体的漂浮条件来进行工作。即所受的浮力总等于它的重力。主要应用于液体商品质量的检测。

根据F浮=G总，可以推出：ρ液V液g=G总。由于G总一定。g为常数。所以，ρ液与V液成反比。

和数学相比，G总/g或者说m总相当于k值。由于G（k）≠0 所以，决定密度计的刻度特点：无零密度值（ρ液不会等于零）；刻度分布不均匀；刻度分布下密上稀；大刻度在下，小刻度在上。又V液不能等于零，密度计测量液体的密度时，液体不能太少，否则，不能满足F浮=G总，即无法测出液体的密度。

如果你要自制密度计，也要用到其刻度原理。只要一根木质直杆（如铅笔）或玻璃管、石块、线、刻度尺就可以了。

顺便说说，密度计的玻璃管之所以要装入水银或铅是要保证密度计能够直立在液体中，减小读数误差或叫错误。

再举电学一个例子，在研究电流、电压和电阻三个物理量之间的关系时，当U一定时，电流与电阻成反比例。

只要设计出一个能够测出R二端的电压和通过R的电流电路就可以研究电流与电阻的关系。如下图。

选择合适的实验器材，先画出电路图，再连接实物图，开关应断开连入，移动滑片P，使阻值处于最大值处，试触开关，观察线路的连接情况（如电压表、电流表的示数有无、正负接线柱和量程选择是否合适等）。做好准备工作后，保持定值电阻两端的电压2V不变，把定值电阻分别换成5欧姆、10欧姆、15欧姆。

注意：每换一次阻值，均须调节滑动变阻器的滑片P，使电压表的示数均为2V时，方可读出电流表的示数。把读出的电流表的示数记入下面的表格中。

实验次数	电压 (v)	电阻 (Ω)	电流 （A）
1	U=2	5	0.4
2		10	0.2
3		15	0.13

在坐标系中描出U---I图像 就可以得到结论：当电压不变时，电流与电阻成反比例。这里，电压U相当于反比例函数中的K。电流和电阻的乘积始终2v。所不同的是，物理中的反比例函数，只限于第一象限，没有对称的另一部分。（k）u值表示的I轴与R轴坐标围成的矩形“面积”与数学中的面积也不同，而是电压值。即在图像上任取一点，过点分别作I轴、R 轴的平行线，平行线与坐标轴围成的矩形面积总等于电压值U 。