如何求相似三角形的面积（求三角形的面积）
如何求相似三角形的面积（求三角形的面积）∴△ABQ与△ACP相似比为2，∵AB=2AC，PC=2，PA=√3，解答：（以下的过程仅供参考，可以部分进行调整，并且可能还有其他不同的解题方法）如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP．
各位朋友，大家好！今天，“数学视窗”给大家讲解一道初中数学中有一些难度的几何综合题，这道题目中给出的条件比较多，但似乎与要求的三角形面积这个问题关系不大，在做题时需要仔细考虑如何有效利用给出的条件，以便找到解题思路。此题考查了三角形面积的计算、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！
例题：（初中数学综合题）如图，在△ABC中，已知∠BAC=60°，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．
分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：要求△ABC的面积，必须三角形的一组底和高，根据∠BAC=60°，AB=2AC，可以推出△ABC是直角三角形，那么只要求出AB或AC的长，即可解决问题。题中给出了PA=√3，PB=5，PC=2，所以必须想办法进行转化。
如图，可以构造△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，于是得到了一组相似三角形，根据相似三角形的性质，求得AQ、BQ的值。再根据相关角之间的关系求得∠QAP=60°，可以得到△APQ也为直角三角形。根据勾股定理逆定理，得出△BQP为直角三角形。再利用勾股定理求得AB的平方，利用正弦定理与三角形的面积计算公式，即可求得△ABC的面积。
解答：（以下的过程仅供参考，可以部分进行调整，并且可能还有其他不同的解题方法）
如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，
则△ABQ∽△ACP．
∵AB=2AC，PC=2，PA=√3，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ=2AP=2√3，BQ=2CP=4，
∵∠QAB=∠PAC，∠BAC=60°，
∴∠QAP=∠QAB ∠BAP=∠PAC ∠BAP=∠BAC=60°．
由AQ：AP=2：1，∠QAP=60°，
（过Q作PA的垂线，证明垂足就是点P即可，过程略）
可以推出∠APQ=90°，
在三角形APQ中，PA=√3，
由勾股定理得PQ=√3AP=3，
∵BQ=4，PQ=3，PB=5，
∴BP^2=BQ^2 PQ^2，
∴∠BQP=90°，（勾股定理逆定理）
过点A作AM∥PQ，交BQ的延长线于点M，
则四边形AMQP是矩形，
∴AM=PQ，MQ=AP，
∴AB^2=AM^2 BM^2
=PQ^2 （AP BQ）^2
=28 8√3，
根据∠BAC=60°，AB=2AC，
（过B作AC的垂线，证明垂足就是点C即可，过程略）
可以推出△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=1/2·AC·BC
=1/2·AB/2·ABsin60°
=√3/8·AB^2
=3 7√3/2，
即△ABC的面积是3 7√3/2.
（完毕）
这道题考查了三角形面积的计算、勾股定理及逆定理、相似三角形的判定与性质等知识。解决本题的关键是构造相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理求得AB的平方值。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。
