奔跑吧百米冲刺（奔跑吧数学）
奔跑吧百米冲刺（奔跑吧数学）接下来我们对各个状态进行分析。如果没有加速阶段，则人奔跑减速过程非常类似于打水漂：我们将奔跑运动分成三个状态的不断重复，见如下示意图：表示人在空中滞留的阶段；均表示脚落地，分为两个阶段：为减速阶段，为加速阶段。
作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
奔跑
奔的金文极其形象：只见一位擅走健将，昂首摆臂，脚下生风，留下一串足印疾驰而去。我们不禁思考，为什么博尔特、苏炳添可以跑得那么快？人跑步的速度与腿部肌肉输出呈什么数学关系？是否可以用公式、图像去刻画描述呢？
我们尝试用极简的模型去理解奔跑这件事。尽管在简化的过程中，会有一定程度的“失真”，不过简单的模型更容易为我们把握，有利于进一步的思考。
周而复始我们将奔跑运动分成三个状态的不断重复，见如下示意图：
-
表示人在空中滞留的阶段；
-
均表示脚落地，分为两个阶段：为减速阶段，为加速阶段。
如果没有加速阶段，则人奔跑减速过程非常类似于打水漂：
接下来我们对各个状态进行分析。
力学分析滞空阶段
滞空时间当然越短越好，这需要运动员锻炼较高的步频。例如“亚洲飞人”——我国男子短跑运动员苏炳添的步频为步/分，甚至在冲刺阶段有“秒踏出步”的记录！
波动阶段
我们先研究一个基本模型。
模型 1
如图，我们将人抽象为球杆模型。其中上球承担着球杆模型大部分质量，下球只占据小部分质量，轻杆质量忽略不计。假设下球在当前时刻瞬时受力平衡，且摩擦力已达到最值，则有以下关系：
若我们令得，
令 ，则有
于是我们得出了摩擦因子在自重 的作用下，允许倾斜的角度的范围。如果上球给墙一个“壁咚”（靠着光滑的墙），倾角是，则该模型刚好受力平衡。
我们发现与对地面的压力无关，只与摩擦因子有关。
结论1：摩擦力虽然限制了加速的倾斜角度的下限，但与的大小无关。所以奔跑者只要维持身体倾角在，就可以获得加速度最大的水平分量。
模型 2
此模型更接近真实的情况——可以把肌肉膝盖视为某种特殊的弹簧装置（弹簧我们不考虑剪切方向的形变）。在模型 1 中，若球杆模型（杆长为）有向左的初速度，由于受到的阻力，使得球杆竖立起来，即从 增长至，在这个过程中考虑能量守恒：
<左右滑动>
可见摩擦力做负功导致速度出现波动。所以我们得出，
结论2：当人的脚掌接触地面的刹那，膝盖迅速弯曲，此时既可以蓄力，又减小身体的势能，从而减少动能的损失。总之，要训练运动员的腿部肌肉像弹簧一样敏捷。加速阶段
当弹簧释放能量时，人获得一个斜向上的加速度，此时人在腾空阶段做斜抛运动。
借用模型 2 分析如上情形，设弹簧提供的弹力为，于是有如下力学方程：
能量守恒：
<左右滑动>
其中表示弹性势能，分别是大球小球速度相同（皆为）时的高度。令，则
<左右滑动>
此时全部转化为的机械能，不过我们希望动能被分配的比例尽可能得高，所以奔跑者需相应地减少竖直方向的能量转移。
如猎豹等擅长奔跑的动物，身姿往往很低，四肢跨度极大，身体像水平的弹簧，不断产生纵波，巨大的能量几乎都在水平的方向释放，于是获得了极高的动能。
回到主题，如果将腿部肌肉做功视为弹簧能量释放：
<左右滑动>
为弹性系数；为弹簧伸长的位移，类比为膝盖伸直所增加的长度，或近似于运动员小腿长度；为肌肉的平均力量输出。
既然竖直方向的波动不大，于是在(3)中我们不妨假设，于是有
<左右滑动>
上面方程的含义是：每一次脚蹬地面，全部转化为动能。使用叠项相消法（假设初速度）并且将(4)代入：
于是得到两个重要的公式：
虽然并不是完全平行于水平方向，但是由于人在奔跑时的重心波动十分微小，所以可以视为水平分量的速度的近似值。当然由于我们考虑的是加速阶段，而没有阻力的影响，而且运动员由于自身的条件所限，加速度可能逐步递减……所以上面公式仅仅考虑的是理想状态下的加速。
结论3：观察(5)，与速度的平方成正比，这意味着在体重尽可能低的情况下，运动员爆发的能量越大越好。人跑步第步的速度与腿部肌肉输出的力量的平方成正比。
计算与验证
图表给出了博尔特在每一瞬间的速度。每一个红色波峰意味着单脚的能量完全释放。我们利用该数据估计一下博尔特的腿部力量。博尔特身高，根据网上照片测量，小腿占比身高恰为，故得小腿长度；体重（实际上是94或95）；第步时速度约为 代入公式(6)得：
一般小汽车的功率都是到，最大行驶速度一般为到，由公式，可知小汽车的牵引力一般为到。另外我们看得出博尔特瞬时速度-时间曲线早期是一个上凸曲线，这很符合公式 (4) (5) 所预言的平方根函数的特点。
人类的速度是否有上限？观看博尔特的比赛，总是觉得他未尽全力（上图曲线末端甚至有减速的趋势！），一再吊着全世界观众的胃口。数学物理的发展似乎也没有上限，当然这取决于人类认知的上限。
所以——奔跑吧！
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