空间直角坐标系方向向量与法向量（空间直角坐标系与向量）

空间直角坐标系方向向量与法向量（空间直角坐标系与向量）d=|OM|=√x^2 y^2 z^2M到原点的距离为b. M关于x轴的对称点是M"（x，-y，-z）c. M关于原点的对称点M"'(-x-y -z)2.空间中两点的距离

一、空间直角坐标系

二、空间中点的坐标与两点间的距离

1.空间中点的坐标

a. M（x，y，z）关于z=0平面对称点为M'(x y -z)

b. M关于x轴的对称点是M"（x，-y，-z）

c. M关于原点的对称点M"'(-x-y -z)

2.空间中两点的距离

M到原点的距离为

d=|OM|=√x^2 y^2 z^2

空间中两点P1（x1，y1，z1）和P2（x2，y2，z2），其距离d=|P1P2|=√（x2-x1）^2 (y2-y1)^2 (z2-z1)^2

例1：证明A（4，3，1），B（7，1，2），C（5，2，3）为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形

由于|BC|=|CA|=6，所以△ABC是等腰三角形。

例2 在x轴上求与A（-2，1，1）和B（0，1，2）等距离的点。

解：点P在x轴上，设该点P（x，0，0），有|PA|=|PB|

解得x=-1/4，所求的点为M（-1/4，0，0）

三、向量的概念

1.向量：既有大小，又有方向的量。向量又称为矢量。

向量的例子：力、速度、加速度、位移、力矩、…

2.数量：自由大小，没有方向的量。

如：温度、质量、长度、密度、时间…

如果向量a和向量b的大小和方向都相同，则两个相等即平移后能完全重合。

向量的大小叫做向量的模，记作|AB|

模等于1的向量叫做单位向量.

模等于零的向量叫做零向量，记作0.

零向量的起点与终点重合，方向是任意的。

与非零向量a同向的单位向量记作向量ea=a/|a|

两个向量的方向相同或相反，称这两个向量平行，记作a//b.

四、向量的线性运算

1.向量的加减法

力的合力

平行四边形法则

三角形法则

当n个向量a1，a2，……an首位相接时，连接a1的起点和an的终点的向量即为a1 a2 …… an。

规定向量的差为：a-b=a (-b)

向量加法满足

（1）交换律 a b=b a

(2) 结合律 （a b） c=a (b c)

2.数乘向量

数乘的向量满足：

向量的加减运算和数乘运算统称为向量的线性运算。

例：在平行四边形ABCD中，设AB=a，AC=b，试用a和b表示向量表示向量MA，MB，MC，MD，其中M是平行四边形对角线的交点。

MA=-1/2(a b) MC=1/2(b-a)

MD=1/2(b a) MB=1/2(a-b)

定理9-1 两个非零向量a和b是平行的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa

五、向量坐标表达式

设x轴、y轴、z轴正向的单位向量分别为i，j，k.

OM=OP PN NM

=OP OQ OR

=xi yj zk

=（x y z）

总结

六、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与ea

设向量r=（x y z） 作r=OM

|r|=|OM|=（OP^2 OQ^2 OR^2）^1/2

=(x^2 y^2 z^2)^1/2

ea=a/|a|

2.方向角与方向余弦

(1)向量的夹角

非零向量r与三条坐标轴正向的夹角α，β，γ称为向量r的方向角，cosα，cosβ，cosγ称为向量r的方向余弦。

2.方向角与方向余弦

a={x，y，z} cosα=x/|a| cosβ=y/|a| cosγ=z/|a|

若是

向量r的方向余弦就是与r同方向的单位向量，即er=（cosα，cosβ，cosγ）。