总体均值的估计例题（总体均数的区间估计）

总体均值的估计例题（总体均数的区间估计）在正态分布总体中进行抽样，(xˉ－μ)/(S/√n)服从自由度为n=v－1的t分布。事实上，总体标准差σ通常是未知的，这时我们可以用其估计量S代替σ，但在这种情况下，1式中(xˉ－μ)/(S/√n)已不再服从标准正态分布，而是服从著名的t分布。从而得到95％的可信区间:一般的情况:其中Zα/2为标准正态分布的双侧界值，即标准正态分布左右两侧概率相加为α时对应的上侧界值。若取1-α=0.95，则为总体均数的95％可信区间，或取1-α=0.99，则为总体均数的99％的可信区间。须注意的是，μ不是一个随机变量，而是包含在可信区间内的一个参数。

总体均数μ可信区间的计算公式可以利用样本均数xˉ的抽样分布获得。实际中，总体均数可信区间的计算方法，根据总体标准差σ是否已知，以样本量n的大小而有所不同。

σ已知

如果变量X服从均数μ、标准差为σ的正态分布，则

服从标准正态分布。

按照标准正态分布规律，95％的z值在－1.96和1.96之间，即

从而得到95％的可信区间:

一般的情况:

其中Zα/2为标准正态分布的双侧界值，即标准正态分布左右两侧概率相加为α时对应的上侧界值。若取1-α=0.95，则为总体均数的95％可信区间，或取1-α=0.99，则为总体均数的99％的可信区间。须注意的是，μ不是一个随机变量，而是包含在可信区间内的一个参数。

σ未知

事实上，总体标准差σ通常是未知的，这时我们可以用其估计量S代替σ，但在这种情况下，1式中(xˉ－μ)/(S/√n)已不再服从标准正态分布，而是服从著名的t分布。

在正态分布总体中进行抽样，(xˉ－μ)/(S/√n)服从自由度为n=v－1的t分布。

t分布随着自由度v的增大，t分布的曲线越来越接近于标准正态分布曲线；当n趋近于无穷大时，t分布的极限分布就是标准正态布。

v不同时，t分布曲线的不同

t分布不是一条曲线，而是一簇曲线。

因此，t分布曲线下面积95%的界值不是一个常量，它随自由度大小不同而变化。

为了应用方便，可根据书中附表查找相应的t界值。t界值表中给出了不同自由度情况下，单侧概率和双侧概率对应的t界值。如当v=24、双侧概率α=0.05时，由表中查得t0.05/2 24=2.064 此处2.064即为两侧尾部概率各为0.025的t界值。

t分布界值表

按t分布规律，95％的t值在－t0.05/2 v和t0.05/2 v之间，即

从而得到95％的可信区间:

更一般的情况:

大样本

在大样本情况下(n>50) 无论变量X是否服从正态分布，按照中心极限定理样本均数都服从正态分布，同时t分布逼近标准正态分布，可信区间可以用下式近似计算:

例题1

某医生测得25名动脉粥样硬化患者血浆纤维蛋白原含量的均数为3.32g/L 标准差为0.59g/L 试计算该种病人血浆纤维蛋白原含量总体均数的95%可信区间。

本例σ未知，用t分布计算。

n=25 Xˉ=3.32 S=0.57 v=n-1=25-1=24 α=0.05 查t值表t0.05/2 24=2.064

该资料计算得到，动脉粥样硬化病人血浆纤维蛋白原含量总体均数的95%可信区间为3.08~3.56g/L。

例题2

假设健康成年男子红细胞计数服从均数为μ=4.75×10¹²/L，标准差为σ=0.38×10¹²/L的正态分布 现随机抽取140人，计算红细胞的样本均数为Xˉ=4.77×10¹²/L。试计算该地成年男子红细胞总体均数的95%可信区间。

本例属于大样本(n>50)，可采用正态近似的方法计算可信区间 (α=0.05)。因为Xˉ=4.77 S=0.38 n=140 则95%可信区间为

估计该地成年男子红细胞总体均数的95%可信区间为4.71×10¹²~4.83×10¹²/L。