方差和标准差怎样理解（一文了解什么方差偏差均衡）

方差和标准差怎样理解（一文了解什么方差偏差均衡）令yD为x在测试样本中的值，y为真实的值。有可能出现噪音使得yD != yY = f(X) ϵ (ϵ满足正态分布ϵ∼N(0 σϵ) )许多模型在设计的时候，都强调避免过拟合，像普遍存在的正则项。在ensemble类模型中，随机森林基于bagging方法，通过样本采样和特征采样，使得每颗树都各有特色。gbdt基于boosting方法，在每一轮训练，通过拟合残差，也训练出了各有特色的树。这些方式在保证bias的基础上，使得模型具有良好的泛化能力。在一个实际系统中，Bias与Variance往往是不能兼得的。如果要降低模型的Bias，就一定程度上会提高模型的Variance，反之亦然。造成这种现象的根本原因是，我们总是希望试图用有限训练样本去估计无限的真实数据。当我们更加相信这些数据的真实性，而忽视对模型的先验知识，就会尽量保证模型在训练样本上的准确度，这样可以减少模型的Bias。但是，这样

“偏差－方差”是解释学习算法泛化性能的重要方式，我们时常通过方差、偏差的角度去理解一个模型，那么，到底什么是方差偏差均衡（bias variance trade off）？

一、定义

偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度，即刻画了学习算法本身的拟合能力；方差度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化，即刻画了数据扰动所造成的影响；噪声则表达了学习问题本省的难度。偏差－方差分解说明，泛化能力是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度所共同决定的，给定学习任务，为了取得好的泛化性能，需使偏差较小，即能够充分拟合数据，并使方差较小，使数据扰动产生的影响最小。

比如，要预测一个给定点的值，用n份有差异的数据集训练，训练了n个模型，结果这n个模型对该点的预测值的差异浮动很大，此时该模型的variance就偏高了。对应了下图中右2和右4。

我们训练模型的摸底是降低模型的泛化误差，variance强调了模型的泛化能力，bias强调了模型的误差能力。如果一个模型variance和bias都很低，它就能获得较低的泛化误差。

许多模型在设计的时候，都强调避免过拟合，像普遍存在的正则项。在ensemble类模型中，随机森林基于bagging方法，通过样本采样和特征采样，使得每颗树都各有特色。gbdt基于boosting方法，在每一轮训练，通过拟合残差，也训练出了各有特色的树。这些方式在保证bias的基础上，使得模型具有良好的泛化能力。

在一个实际系统中，Bias与Variance往往是不能兼得的。如果要降低模型的Bias，就一定程度上会提高模型的Variance，反之亦然。造成这种现象的根本原因是，我们总是希望试图用有限训练样本去估计无限的真实数据。当我们更加相信这些数据的真实性，而忽视对模型的先验知识，就会尽量保证模型在训练样本上的准确度，这样可以减少模型的Bias。但是，这样学习到的模型，很可能会失去一定的泛化能力，从而造成过拟合，降低模型在真实数据上的表现，增加模型的不确定性。相反，如果更加相信我们对于模型的先验知识，在学习模型的过程中对模型增加更多的限制，就可以降低模型的variance，提高模型的稳定性，但也会使模型的Bias增大。Bias与Variance两者之间的trade-off是机器学习的基本主题之一，机会可以在各种机器模型中发现它的影子。

二、数学含义

我们定义需要预测的真实结果Y，与其对应的自变量X(训练样本)，之间有这样的关系:

Y = f(X) ϵ (ϵ满足正态分布ϵ∼N(0 σϵ) )

令yD为x在测试样本中的值，y为真实的值。有可能出现噪音使得y_D != y

为了方便讨论，这里假定E[ yD - y ] = 0。

假设，fD(x)为训练集X上学得模型f在x上的预测输出，学习算法的期望预测为：

f_ExpectedD(x) = E[ f_D(x) ]

统计学习中有一个重要概念叫做residual sum-of-squares：

RSS看起来是一个非常合理的统计模型优化目标。但是考虑K-NN的例子，在最近邻的情况下（K=1），RSS=0，是不是KNN就是一个完美的模型了呢，显然不是，KNN有很多明显的问题，比如对训练数据量的要求很大，很容易陷入维度灾难中。KNN的例子说明仅仅优化RSS是不充分的，因为针对特定训练集合拟合很好的model，并不能说明这个model的泛化能力好，而泛化能力恰恰又是机器学习模型的最重要的要求。真正能说明问题的不是RSS，因为它只是一个特定训练集合，而是在多个训练结合统计得出的RSS的期望，MSE（mean squared error），即期望泛化误差。

基于假设，我们可以得到关于测试集x的MSE（mean squared error）:

MSE(x) = E[( fD(x) - yD)²]

MSE(x) = E[( fD(x) - f_ExpectedD(x) f_ExpectedD(x) - yD)²]

MSE(x) = E[(fD(x)- f_ExpectedD(x))²] E[(f_ExpectedD(x)-yD)²] E[2×(fD(x)-f_ExpectedD(x) )×(f_ExpectedD(x) - yD)]

第三项需要注意：由于训练集已知，所以这里的f_ExpectedD(x) - E[(f_ExpectedD(x) - yD)²]实际上是一个常数，可以拿到外部。

fD(x) - f_ExpectedD(x) 根据上面学习算法的期望预测的式子，可以知道其差值为０

即是：

MSE(x) = E[(fD(x) - f_ExpectedD(x))²] E[(f_ExpectedD(x) - yD)²]

MSE(x) = E[(fD(x) - f_ExpectedD(x) )²] E[(f_ExpectedD(x) - y y - yD)²]

MSE(x) = E[(fD(x) - f_ExpectedD(x))²] E[(f_ExpectedD(x) - y)2] E[(y - yD)]² 2×E[(f_ExpectedD(x) - y)×(y - yD)]

噪声期望为０，因此最后一项为０

MSE(x) = E[(fD(x) - f_ExpectedD(x))²] (f_ExpectedD(x) - y)² E[(y - yD)]²

使用样本数相同的不同训练集产生的方差为：

var(x) = E[(fD(x) - f_ExpectedD(x))²]

期望输出与真实值的差别称之为偏差，即：

bias2(x) = (f_ExpectedD(x) - y)²

噪声为：

ϵ2 = E[(y - yD)]²

即是：

MSE(x) = var(x) bias2(x) ϵ2

从上面的推导我们可以看出，期望泛化误差可以分解为方差，偏差与噪声之和。

三、总结

模型过于简单时，容易发生欠拟合（high bias）；模型过于复杂时，又容易发生过拟合（high variance）。为了达到一个合理的 bias-variance 的平衡，此时需要对模型进行认真地评估。这就是所谓的偏差方差均衡。