数学多维模型（基于实践上的一种数学认识）

数学多维模型（基于实践上的一种数学认识）数学模型不考虑第一部分的那些量，把第二部分的量看作局外变量(参数，输入或自变量)，然后把第三部分的事物看作局内变量。第三部分：问题的主要研究对象。就一个问题而论，现实世界的事物可分成三部分：第一部分：影响微小的事物；第二部分：可以影响问题，但并非我们的主要研究对象；

实践和认识，是认识论中的哲学范畴。认识是主体对客体的能动反映，而实践则是认识的基础，它对认识起着决定的作用。

数学模型方法正是基于实践之上的一种数学认识，人们用以认识世界和改造世界。

图1 建造数学模型

模型是指所研究事物的有关性质的一种模拟物。数学模型则是那些利用数学语言来模拟现实的模型。广义地说，一切数学都是数学模型。实数系是时间的模型，微积分是光滑运动的模型，几何学是现实空间的模型，一切数学概念和知识都来源于现实，当然都是数学模型。但是我们这里要谈的是研究特定问题、构作特定模型的一种数学方法。

就一个问题而论，现实世界的事物可分成三部分：

第一部分：影响微小的事物；

第二部分：可以影响问题，但并非我们的主要研究对象；

第三部分：问题的主要研究对象。

数学模型不考虑第一部分的那些量，把第二部分的量看作局外变量(参数，输入或自变量)，然后把第三部分的事物看作局内变量。

建立数学模型需要想象力和技巧。正如瞎子摸象一样，我们从一个侧面只能察知问题的一个特征，虽然是真实的反映，却是片面的，只有把各个部分的认识综合起来，构成一个假想模型，然后经受实践检验来判定模型的可信程度。

数学教学中，往往强调逻辑推理多于强调建立数学模型，只在纯数学推理圈内活动；将数学问题的源头(模型)和去向(应用)都弃而不顾，恐怕很不足取。以中学数学而论，可教的模型很多。例如，复利与对数，分期付款与幂级数求和，周期运动与正弦函数，服装设计与对称，地球与球面，建筑中的几何，评分与平均数，方位与坐标，地图与比例，股票走势与函数图象等等都是义务教育中人人都要懂、将来要会用的数学模型，下大力气去教是为子孙后代造福的事。

这里我们举一个用方程方法为一实际问题提供模型的例子：

我们讲三元一次方程组，学生只记住加减法，代入法之类的程式，解出来完事。虽然有一些应用题，要求学生把题中的话翻译成数学语言，也只是对号入座。方程观念的核心是对某些实际问题创设数学情景，构造数学模型，列出方程求解。请看下列实例(陈振宣先生提供)：

图2 电路图

上海某饭店各房间的室内温度由控制室统一调整。一位施工师傅发现控制室内仪表指示的温度与室内的实际温度有差异而始终调整不好。后来查出原因，是因为从高层房间到控制室的距离很长，三相电的三根电线因转弯处折转不同，有长有短，而造成三根电线的电阻不同，结果仪表上就出现了偏差。那么如何来测量这三根线的电阻呢？任何万用表都不能把一头放在十几层楼房间里的a'处，另一头放在底楼控制室的a处，这该怎么办？

一位学过代数的青年师傅想出了办法。他假设x，y，z分别是a' a'， bb' 和cc'的电阻(图2)，这是三个未知量，电表不能直接测量出这三个数。然而可以把a'和b'连接起来，在a和b处量得电阻z y为l，然后将b'和c'连接起来，在b和c处量得y z为m，同理，连接a'和c'，可量得x z为n。这样得到三个变元的联立方程式

于是解出x，y，z，仪表就调整好了。

进一步，如将此题改为文字应用题：“如果我们可以量得aa'和bb'两线串联后的电阻为l，bb' 和cc'串联后为m， cc' 和aa'串联后为n，试问三线的电阻是多少？”那么只需将文字语言翻译为方程语言，问题便容易解决，也就不稀奇了。这位青年师傅的可贵之处在于他创设问题的情景(把电线两两连接再量)，构作数学模型(三个未知数需要列三个方程形成联立方程组)。学习方程，难就难在用方程的“观点”去分析实际问题，用数学思想构造模型，而不在解方程。如果我们的数学教学只让学生去解几十道甚至上百道方程题，却不教学生去经历用方程观念构作模型的过程，至少说在教学上我们还存在着一个很大的缺陷。