角平分线中常作辅助线的方法：角平分线上的一条垂线

角平分线中常作辅助线的方法：角平分线上的一条垂线所以求CM长度就转换成求AG长度，而AG=AB-BG AB长度在第一步已经求得，BG=BC=8，这样最终CM长度就可以顺利求出来了。大家如果有其他更好的思路欢迎一起来分享讨论！

一道初中几何压轴题，说是压轴题其实也不难，可能就是条件看起来有点多，同学看了可能一下子无从下手。请看题目：在三角形ABC中，BN为∠ABC的角平分线，交AC于点N，过点C作CM⊥BN，垂足为M，已知BC=8，AN：NC=4:3，∠ACB=3∠A

请问：垂线CM的长度是多少？

这道题目乍看一下感觉确实无从下手，但仔细分析起来还是可以找到突破点的。首先从题目给出的角平分线以及AN NC的比例关系，应该可以马上想到角平分线定理，也就是AB:BC=AN:NC，这里面，BC已知，AN:NC已知，所以很快能得到AB的长度。

然后继续分析剩下的几个条件，从角度的关系入手看看能不能找到线段之间的关系。因为∠A ∠ACB ∠ABC=180°，将各个角的关系代入得∠A 3∠A 2∠NBC=180°，化简得到∠NBC 2∠A=90°，而CM⊥BN，∠NBC ∠BCM=90°，可以得到∠BCM=2∠A 又由已知条件∠BCM ∠MCN=∠ACB=3∠A，所以∠MCN=∠A，到这一步就应该很容易看出来存在等腰三角形了，假设将CM延长交AB于G点，那么三角形AGC就是等腰三角形，三角形CBG也是等腰三角形。得出线段关系就是AG=CG BC=BG，CM=1/2CG=1/2AG

所以求CM长度就转换成求AG长度，而AG=AB-BG AB长度在第一步已经求得，BG=BC=8，这样最终CM长度就可以顺利求出来了。

大家如果有其他更好的思路欢迎一起来分享讨论！