离散数学集合的运算例题：离散数学1.41.5特殊的集合和集合的计算

离散数学集合的运算例题：离散数学1.41.5特殊的集合和集合的计算第二条定理的简单证明：第一条定理的证明在第二章-数理逻辑内，因此目前只需记住并且会使用即可。在高中时，我们已经学过了一些常见的集合，比如：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，数学表达式为∅={x|x≠x}关于空集有两条定理：1.空集是所有集合的子集，2.任何情况下空集都是存在的且是唯一的。

离散数学是编程人员进阶的必修科目，是计算机专业学生的基础课程之一，多为理论性知识，较抽象。

【离散数学】第一章（集合论基础）的小节主要有：

1.1集合的定义和表示

1.2集合与元素的关系

1.3集合与集合之间的关系

1.4一些特殊的集合

1.5集合的运算

在这篇中我们讨论1.4特殊的集合和1.5(上)集合的计算。

本两小节包括3个知识点——1.常见的集合，2.特殊的集合，3.集合的基本运算

常见的集合

在高中时，我们已经学过了一些常见的集合，比如：

• 自然数集N(natural number)：表示从0到正无穷的整数。
• 整数集Z：表示从负无穷到正无穷的整数。
• 奇数集O(odd)：元素都不能被2整除的集合。
• 偶数集E(even)：元素都能被2整除的集合。
• 有理数集Q(quotient)：整数和分数的统称（可比的数）。
• 还有实数集R(real number)，复数集C(complex number)等。

特殊的集合

1. 空集(empty set)

不含任何元素的集合叫做空集，记作∅，数学表达式为∅={x|x≠x}

关于空集有两条定理：1.空集是所有集合的子集，2.任何情况下空集都是存在的且是唯一的。

第一条定理的证明在第二章-数理逻辑内，因此目前只需记住并且会使用即可。

第二条定理的简单证明：

假设有两个不同的空集∅₁和∅₂，那么由第一条定理我们可以知道∅₁是∅₂的子集，且∅₂是∅₁的子集，因此∅₁=∅₂，因此空集是存在并且绝对唯一的

2. 全集(universal set)

在一个确定的范围内，包含这个范围内所有元素的集合叫做全集，一般记作U或E

3. 有限集和无限集(finite set&infinite set)

有限集和无限集在基础阶段无需深入理解，因此我们给出他们的简单定义：一个集合的基数是有限的，称这个集合为有限集。反之，基数无限的集合称为无限集。

4. n元集和m元子集

集合内的元素个数称为元，有n个元素的集合称为n元集。

对于一个n元集的子集，它的元m一定在0和n之间，也就是(0 ≤ m ≤ n)，我们称之为m元子集。

比如：3元集A={a b c}，A的1元子集B={c}

5元集C={d e f g h}，C的3元子集D={e g h}

5. 集族(family of set)

把集合作为元素构成的集合称为集族

例如：A={a {b c} d {e f} g}，其中{b c}和{e f}是集合，也是集族A的元素

6. 幂集(power set)

对于任一集合A，由A的所有子集作为元素构成的集合称为幂集，记作P(A)，数学表达式为P(A)={x|x∈A}。

由集族定义可知，幂集是一个典型的集族。

集合的计算

• 并运算(∪)，并集(union)

设A B任意两个集合，则A与B的并运算为A∪B，结果表示为并集A∪B={x|x∈A或x∈B}

并运算的实质：把集合A和集合B中所有的元素聚集。

并运算的结果：A B两个集合内所有的元素组成的集合。

并集A∪B

• 交运算(∩)，交集(intersection)

设A B任意两个集合，则A与B的交运算为A∩B，结果表示为并集A∩B={x|x∈A且x∈B}

交运算的实质：把集合A和集合B中相同的元素取出。

交运算的结果：A B两个集合中共有的元素组成的集合(相同的元素组成的集合)。

交集A∩B

• 差运算(-)，差集(subtraction)

设A，B为任意两个集合，则A B的差运算为A-B，结果表示为差集A-B={x|x∈A∩x∉B}

B A的差运算为B-A，结果表示为差集B-A={x|x∈B∩x∉A}

差运算的实质：取出给定的两个集合中某一个集合所特有的元素

差集

• 补运算(~)，补集(complement)

补运算只有在给定了全集的情况下才 有意义，全集不同，补运算的结果不同

设存在全集U，则在U内的集合A的补集为~A(或者U-A)，结果表示为~A={x|x∉A}

补运算的实质：找出在固定范围内(全集内)，但不满足给定集合(集合A)的条件的所有元素。

补运算的结果：除去集合A包含的元素，全集中剩下的其他元素。

补集U-A

通过对比差运算和补运算，我们可以发现：当被取出的元素所在的集合是全集时，差运算就是补运算

• 对称差运算(⊕)，对称差集(symmetric difference of sets)

设A B为任意两个集合，他们的对称差运算A⊕B，结果表示为A⊕B={(x∈A∩x∉B)∪(x∈B∩x∉A)}

对称差运算的实质：除去两个集合中相同的元素，剩下的不同元素构成新的集合

对称差运算的结果：A B的差运算并上B A的差运算，即(A-B)∪(B-A)

对称差集A⊕B

以上就是1.4特殊的集合的全部内容&1.5集合的计算的部分内容，如果对您有帮助的话，可以点一个赞。如果有错误的话，感谢指出。

本篇内容为集合论基础的重点，完全理解并掌握本篇所有的知识将对学习后面的内容有较大的帮助，下一篇我们将讨论1.5(下)集合的运算律。