交换律推导：数出来的交换律

交换律推导：数出来的交换律02 理解乘法交换律我们在一年级学习加法还采用了“点子图”，借助摆棋子游戏，也可以画圆圈表示：左边5颗，右边3颗，一共有多少颗棋子？列式：5 3；换个方向或交换位置看：左边3颗，右边5颗，一共有多少颗棋子？列式：3 5。结果都等于8，得出5 3=3 5。虽都是将两个集合合并起来，但两个加法算式的本质是不一样的。正如张教授所说，交换律只能说明交换两个数的次序后结果相同，而过程是有区别的。—现在教材里提到加法交换律，就是让学生拿两个数来验证一下：5 6=6 5，然后要学生分组举很多例子，归纳出加法交换律成立。至于为什么可以交换，没有从本源上说清道理。回到加法运算的本质自然数的加法，其本源意义在于对两个具有有限基数且不相交的集合A和B作并集A∪B之后，A∪B的基数是A的基数与B的基数之和。加法的本质就是相同单位个数的累加，对于孩子来说，最好的活动就是“数数”，接着数。通过操作活动“数石子”建立数

啃读课题2

加法与乘法交换律不是“可以写出来”的

“正整数加法和乘法的意义及其交换律怎样表述比较好？”针对这个问题，张教授给出的建议就是运用“数数”的活动，用最简单的数学活动来理解抽象的交换律。

01 理解加法交换律

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现在教材里提到加法交换律，就是让学生拿两个数来验证一下：5 6=6 5，然后要学生分组举很多例子，归纳出加法交换律成立。至于为什么可以交换，没有从本源上说清道理。回到加法运算的本质自然数的加法，其本源意义在于对两个具有有限基数且不相交的集合A和B作并集A∪B之后，A∪B的基数是A的基数与B的基数之和。

加法的本质就是相同单位个数的累加，对于孩子来说，最好的活动就是“数数”，接着数。通过操作活动“数石子”建立数数模型，，先数a颗，接着数b颗，得到a b颗；或者先数b颗，接着数a颗，得到b a 颗。操作过程不一样，这两个算式的本质就不一样，但结果一样，所以a b=b a，这就是“加法交换律”存在的依据及其合理性。

我们在一年级学习加法还采用了“点子图”，借助摆棋子游戏，也可以画圆圈表示：左边5颗，右边3颗，一共有多少颗棋子？列式：5 3；换个方向或交换位置看：左边3颗，右边5颗，一共有多少颗棋子？列式：3 5。结果都等于8，得出5 3=3 5。虽都是将两个集合合并起来，但两个加法算式的本质是不一样的。正如张教授所说，交换律只能说明交换两个数的次序后结果相同，而过程是有区别的。

02 理解乘法交换律

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教材二年级上册“乘法的初步认识”一节中展示了三幅不同的生活情境图片，引出三个加法算式:3 3 3 3 3=15，6 6 6 6=24，2 2 2 2 2 2 2=14。然后指出:“这种加数相同的加法 还可以用乘法表示。”针对最后一个加法算式，指出用乘法算式可以写为“2x7=14”或“7x2=14”，并同时给出了它们的读法。教材呈现的实际生活情境是单向的7个2相加的和，很难让孩子体会到两个算式相等的合理性。而且，给出结论时还提到：用乘法算式表示为2×7或7×2。也就是从乘法意义上来说，默认了这两个算式是一样的。如果是这样，乘法交换律的存在也就没有意义了。

对于乘法交换律，回到乘法运算本质。乘法运算的本质又得回到加法含义上，即“求几个相同加数的和的简便运算”。结合生活情境，要理解2×7与7×2这两个算式的本质是不同的。张教授给出的建议是回到“数数”的活动，画出“石子图”（点子图）

接着文字表述：这堆石子有多少颗呢？可以竖着数，每列2颗石子，共7列。7个2相加，写作2×7，读作2乘以7。横着数，每行7颗，共2行，2个7相加，写作7×2，读作7乘以2。不管竖着数还是横着数，结果都是14。所以2×7=7×2。虽然这两个算式的结果是一样的，但它们表示的意义却是不同的。

课改前，写乘法算式必须遵循“每份数×份数=总数”，2 2 2 2 2 2 2=？，必须写成2×7，表示7个2相加的和，写成7×2就是错误的。课改后，为降低教和学的难度而淡化了这部分要求，7×2既可以表示7个2相加的和，也可以表示2个7相加的和，导致学生对乘法意义理解模糊。现在想想，在教学“乘法的初步认识”时，完全可以引导学生从不同角度来观察图片（也就是张教授建议的“横着看”和“竖着看”），而且还要给学生讲清楚“横着看”和“竖着看”列出的两个算式表示的意义是不一样的，为我们四年级学习乘法分配律做好铺垫，更好地解释其合理性。

“加法和乘法的交换律”还真不是直接写出来的，而是通过“数数”的活动“数”出来的，这样的推导过程就是为了引导学生逐步经历“数学化”。学习运算律不仅为了计算简便，更为重要的是发展学生对于数与运算意义的理解，培养数学学习的能力。作为教师，不能只做知识的“搬运工”，而应该追根溯源，让学生不仅要知其然，而且要知其所以然。