弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析

小君 2023-02-09 06:14:52 428

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析320世纪 80年代末国际知名建筑大师丹下健三曾在约旦哈西姆宫的 5 个不同使用功能的大厅里设计了 5种不同的椭圆旋转楼梯。本文以其中某一会客厅内的椭圆螺旋楼梯为工程背景。1.概述椭圆只有两条对称轴弧上每点曲率均在变化弧长积分无法用简单的解析函数表达。椭圆等距线并不是椭圆椭圆产生椭圆螺旋线、直纹曲面均给计算带来很大难度。因此椭圆螺旋楼梯的施工放样和内力分析是个相当复杂的过程国内外相关研究较少[ 1 - 3 ] 。

结合工程实际介绍了椭圆旋转楼梯的微分几何数学模型阐述了楼梯施工放样的基本方法即根据已知两端点的参数进行椭圆弧长等分。

椭圆弧长积分结果无法用解析解显式表示利用泰勒级数推导出弧长积分的近似解析解然后利用 New2 ton迭代法手算各弧长等分点对应的参数 t 从而求出椭圆旋转楼梯各控制点的坐标。

同时利用 Matlab软件编程计算进行校验。比较手算和机算结果发现该解析解完全满足工程设计要求。

这种方法还可以用于以其他方式旋转楼梯的施工放样。

.概述

椭圆只有两条对称轴弧上每点曲率均在变化弧长积分无法用简单的解析函数表达。椭圆等距线并不是椭圆椭圆产生椭圆螺旋线、直纹曲面均给计算带来很大难度。因此椭圆螺旋楼梯的施工放样和内力分析是个相当复杂的过程国内外相关研究较少[ 1 - 3 ] 。

20世纪 80年代末国际知名建筑大师丹下健三曾在约旦哈西姆宫的 5 个不同使用功能的大厅里设计了 5种不同的椭圆旋转楼梯。本文以其中某一会客厅内的椭圆螺旋楼梯为工程背景。

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析(1)

.椭圆弧长计算公司的近似解析

由上述分析可知椭圆弧长

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析(2)

式中 :ρ = ( a sin t) 2 ( bcost) 2 称为椭圆弧长的导数。椭圆弧长属于第二类勒让德 (Legendre) 椭圆积分积分结果无法用解析解显式表示 [ 5 ] 。

椭圆楼梯施工放样和力学分析时将进行 t和 l ( t) 之间的互逆运算。求解椭圆弧长 l ( t) 关于参数 t的解析表达式既可以进行手算同时可以与机算结果互相校核。利用 1 x2 在其收敛半径 | x | ≤ 1内的二项级数展开式将椭圆弧长积分展开为级数表达式从而求出椭圆弧长的近似解析解 :

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析(3)

由于椭圆弧长为定值故展开式 ( 2) 在其收敛半径内是收敛的并且可以逐项积分。将偏心率 e = 1 - ( b / a) 2 = 0. 820 54 代入上式并取上式的前十项进行积分作为近似值 l ( t) 10 误差用ε( t) 表示则有 l ( t) = l ( t) 10 ε( t) 且有

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析(4)

再将 a = 4 200 b = 2 400代入上式得 l ( 2π) 10 = 21 123. 276 8 与利用 Matlab编程算出来的精确值 21 121. 897 33相比误差为 0. 065‰ 非常接近表明 ( 3) 式可以当作椭圆弧长计算公式的近似解析解。

.椭圆螺旋楼梯的施工放样

清楚了椭圆旋转楼梯的几何性质并用数学语言准确描述之后就可以进行施工放样。根据建筑图楼梯中心线上踏步的起点 A1、中间休息平台A18和 A19点、以及踏步的终点 A33均已经确定同时已知 A1 ～A18、A19 ～A33之间分别有 17个和 14 个等分的踏步如图 2所示。

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析(5)

施工放样实际上变成了求解 A1 ～A18之间的 17个等分点、A19 ～A33之间的 14个等分点所分别对应的参数 t。已知椭圆弧长反求 t的过程中无论采用精确计算公式 ( 1) 还是近似计算公式 ( 3) 都采用 New ton迭代法即给定适当的初始值 t代入公式进行计算直至计算出的弧长与等分弧长误差满足要求 [ 6 ] 。求出中心线各点对应的参数 t 就可求出中心线上等分点 A i的坐标。

楼梯的踏步属于直纹曲面的 v线平行于 xoy平面所以内、外边线的等分点 B i 和 Ci 的 z坐标等同于中心线上等分点 Ai 的 z坐标。v线垂直于中心曲线 t 线所以直线 B i Ai Ci 平行于中心曲线 Ai 点处的主法矢方向。中线曲线即螺旋曲线在水平面上的投影为椭圆任一点 Ai 处的法角大小为 :

β = arctank 法 = arctan a tan t b=bcost arccos ρ( t) = arcsin a sin t ρ( t)

如图 3 根据参数 t、法角 β和距离 v0 利用椭圆参数方程 L ∶r( t) 和椭圆等距线方程 LE ∶r( t) 进行直角坐标放样;或者利用椭圆旋转角 θ的参数方程进行极坐标放样。参数 t (亦称之为椭圆离心角 ) 和旋转角θ的关系如图 4所示 θ = arctan ( b tan t / a) 以θ β = arctank 法 = arctan a tan t b 为参数的椭圆方程为 :

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析(6)

这样椭圆旋转楼梯的中心线、内外边上各等分点 Ai 、B i 、Ci 的坐标均已求出即可进行施工放样。同时根据各点在水平面上的投影可以制作楼梯踏步的面砖等。 Ai 、B i 、Ci ( i = 2 ～ 17) 计算流程见图 5 其中的参数等分变量 tn = 4. 543 57 弧度等分变量 ln = 271. 817 56。

手算和 M atlab编程计算结果十分接近现摘录手算参数 t的计算结果见表 2。i = 20 ～ 32时计算方法类似。另一半对称即可。

弧形楼梯大理石放样测量方法，椭圆旋转楼梯的大理石施工放样方法解析(7)