简述牛顿和莱布尼茨的微积分思想，史话牛顿和莱布尼茨发现微分与积分的互逆运算关系
简述牛顿和莱布尼茨的微积分思想，史话牛顿和莱布尼茨发现微分与积分的互逆运算关系由此可得曲线c绕x轴旋转所得旋转体的表面积为s=∫2πyds-∫2πndx若以ds表特征三角形的斜边，过P点的法线长为n，则有ds/n=dx/y，即yds= ndx，求和得∫yds=∫ndx②莱布尼茨创立微积分首先是出于对几何问题的思考，尤其是对特征三角形的研究，于1673年莱布尼茨提出了自己的“特征（直角）三角形”。莱布尼茨是这样考虑的：如图上图所示，设曲线c通过原点，P(x，y)为曲线c上的任一点，过P作法线交x轴于N，从P点的垂足H到N的距离V（称为次法线）是x的函数，则从o到x的面积为1/2y^2。在P点的无穷小邻近曲线上取一点Q，以PQ为“斜边”作一“特征（直角）三角形△PQR”，其两段PR RQ为无穷小变化量dx和dy，则Rt△PQR～Rt△PNH，于是有dy/v=dx/y，即vdx=ydy，求和得
1 近代数学的兴起近代数学的兴起始于16世纪，首先是代数学，如三角学从天文学中分离出来，透视法产生射影几何，对数的发明改进了计算，但其主要的成就应是三次和四次代数方程求解的突破，代数的符号化。
2 解析几何的诞生进入17世纪以后，各式各样的数学理论和分支如雨后春笋般茁壮成长。从本质上讲，近代数学是关于变量的数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求。例如，机械的普遍使用引发了对机械运动的研究；由贸易带动的航海业的发展要求更精确和便捷地测定船舶的位置，这需要研究天体运动的规律；武器的改进则推动了弹道问题的研究。所有这些问题都表明，对运动和变化的研究已成为自然科学研究和数学研究的中心问题。
变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。作为几何学的一个分支，解析几何的基本思想是在平面中引进坐标的概念，因此它又被称为坐标几何。用解析几何的方法，我们可以将任何一个形如f(x y)=0的代数方程（通过方程的解）与平面上的一条曲线对应起来。这样一来，一方面，几何问题也就可以转化为代数问题，再通过对代数问题的研究就可以发现新的几何问题。另一方面，代数问题也就有了几何意义的解释。
3 微积分学的先驱微积分特别是积分学的萌芽，可以追溯到古代。面积、体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的问题，在古代希腊、中国和印度的著述中，不乏用无限小的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。其中包括阿基米德和祖冲之父子，他们成功地求出了球的体积；芝诺的悖论则表明，一个普通的常量也可以被无限划分。在微分学方面，阿基米德和阿波罗尼奥斯分别讨论过螺线和圆锥曲线的切线，但这些都只是个别的或静态的。
莱布尼茨创立微积分首先是出于对几何问题的思考，尤其是对特征三角形的研究，于1673年莱布尼茨提出了自己的“特征（直角）三角形”。莱布尼茨是这样考虑的：
如图上图所示，设曲线c通过原点，P(x，y)为曲线c上的任一点，过P作法线交x轴于N，从P点的垂足H到N的距离V（称为次法线）是x的函数，则从o到x的面积为1/2y^2。
在P点的无穷小邻近曲线上取一点Q，以PQ为“斜边”作一“特征（直角）三角形△PQR”，其两段PR RQ为无穷小变化量dx和dy，则Rt△PQR～Rt△PNH，于是有dy/v=dx/y，即vdx=ydy，求和得
若以ds表特征三角形的斜边，过P点的法线长为n，则有ds/n=dx/y，即yds= ndx，求和得∫yds=∫ndx②
由此可得曲线c绕x轴旋转所得旋转体的表面积为s=∫2πyds-∫2πndx
因当时还没有积分符号，莱布尼茨是这样用语言来描述他这一重要结果的：
“由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线（在圆中即为半径），按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比。”
早在1666年，莱布尼茨就在《论组合的艺术》一文中考察过下列平方数数列：
0，1，4，9，16，25，36，...
其一阶差是
1，3，5，7，9，11，...
二阶差是
2 2 2 2 2 ...
他注意到一阶差的和对应于原数列，求和与求差成互逆关系，由此他联想到微分与积分的关系。利用笛卡尔坐标系，他把曲线上无穷多个点的纵坐标表示成y的数列，相应的横坐标的点就是x的数列。如果以x作为确定纵坐标的次序，再考虑任意两个相继的y值之差的数列，莱布尼茨惊喜地发现，“求切线不过是求差，求积不过是求和”。
求曲线的切线，依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值，当这些差值变成无限小时之比；而求曲线下的面积，则依赖于无限小区间上的纵坐标之和（亦即宽度为无限小的矩形面积之和），并看到了这两类问题的互逆性。莱布尼茨在给洛必达的一封信中总结说：“求切线不过是求差，求积不过是求和”。
对于求和，在莱布尼茨1675年10月29日的一份手稿中，首先使用了符号“∫”，这是将“sum”的首个字母“s”的拉长。在11月11目的手稿中又引进了“dx”表示两相邻x值的差。l 676年11月莱布尼茨已能给出幂函数的微分与积分公式：
其中e不一定是正整数。
1677年，莱布尼茨在手稿中明确陈述了微积分基本定理。为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为dz/dx=y，这样原曲线下的面积为∫ydx=∫dz=z。如果是在区间[a，b]上，便得到面积
莱布尼茨于1684年发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》（简称新方法），也是数学史上第一篇微分文献，刊登在莱比锡的《教师学报》上。
文中引进微分式，并给出了微分式的和、差、积、商乘幂与方根的微分公式：
d(u±v)=du±dv; d(uv)=udv vdu;
1686年，莱布尼茨发表他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，文中论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，并得出摆线方程：
亦即某些超越曲线也可写出其方程。
莱布尼茨引进的符号“d”和“∫”体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，获得普遍承认，一直沿用至今。
