python使用微积分计算图：python微积分-两个函数曲线及其合围区域的面积

python使用微积分计算图：python微积分-两个函数曲线及其合围区域的面积已知 f(x)=sin(x) g(x)=cos(x) (0<x<π)，求这两个函数曲线所形成的非闭合区域的面积def Left(x): return g(x) - f(x) def Right(x): return f(x) - g(x) area_Left = quad(Left 0 roots.root)[0] area_Right = quad(Right roots.root 2)[0] area_Right area_Left两个闭合区域的面积之和为2.0043456631323346。# 求函数f(x)和g(x)图形合围区域的面积， a1 = quad(f -1 1)[0] a2 = quad(g -1 1)[0] abs(a1 - a2)定义求合围面积的函数def enclosed_area(x): return g(x) - f(x)求合围区域的面

本文讲述用scipy和matplotlib工具包来求解两个函数的曲线所合围的一个或多个区域的面积，以便在学习定积分的过程中能更好地理解定积分的几何意义。

导入本文各例题所必要的工具包：

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy.integrate import quad from math import pi例 1：函数f(x)和g(x)如图1，求这两个曲线合围的区域的面积

例1求解步骤如下：

• 写出f(x)和g(x)的自定义函数，并确定 x 的取值范围

def f(x): return 0.5*x**2 def g(x): return 1/(1 x**2) x = np.linspace(-2 2 100)

• 绘制f(x)与g(x)曲线的代码，输出结果如图2

plt.plot(x f(x)) plt.plot(x g(x)) plt.show()

• 求出这两个函数的曲线合围区域的面积

要想求出这两个函数的曲线合围区域的面积，就要找到两个曲线的交点，即f(x)和g(x)联立方程组求得两个根：-1 和 1，然后用scipy中的求积分函数quad()，代码如下：

# 求函数f(x)和g(x)图形合围区域的面积， a1 = quad(f -1 1)[0] a2 = quad(g -1 1)[0] abs(a1 - a2)

• 定义求合围面积的函数

def enclosed_area(x): return g(x) - f(x)

• 求合围区域的面积

quad(enclosed_area -1 1)

计算结果：(1.2374629934615633 1.3738599074625972e-14)，包括两个数值，前面一个为面积的值，后面一个是误差。

例 2 ：函数f(x)和g(x)如图3，求这两个曲线合围的闭合区域的面积之和

例2求解步骤如下：

• 写出f(x)和g(x)的自定义函数，并确定 x 的取值范围

def f(x): return 1 x np.e**(x**2 - 2 * x) def g(x): return x**4 - 6.5*x**2 6*x 2 x = np.linspace(0 2 100)

• 绘制f(x)与g(x)曲线的代码，输出结果如图4

plt.plot(x f(x)) plt.plot(x g(x)) plt.fill_between(x f(x) g(x) color = 'pink' alpha = 0.5) plt.text(0.5 2.5 'Left') plt.text(1.5 2.0 'Right') plt.show()

• 绘制f(x)-g(x)曲线的代码，输出结果如图5，

plt.plot(x f(x)- g(x)) plt.axhline(color = 'black') plt.title('f(x) - g(x) = 0 ');

• 优化 f(x) 和 g(x) 的求解结果

from scipy.optimize import root_scalar

• 定义f(x) - g(x)的函数

def difference(x): return f(x) - g(x)

• 求出f(x) - g(x) = 0 的根

root_scalar(difference bracket = [0.75 1.25] method = 'bisect') roots = root_scalar(difference bracket = [0.75 1.25] method = 'bisect') roots.root

结果为1.032831888363944。

• 绘制f(x)-g(x)曲线的代码，并在曲线上标出零点，输出结果如图6，

• 绘制f(x)-g(x)曲线，并标出交点，如图7

• 定义求合围区域面积的函数，并计算出两个合围区域的面积

def Left(x): return g(x) - f(x) def Right(x): return f(x) - g(x) area_Left = quad(Left 0 roots.root)[0] area_Right = quad(Right roots.root 2)[0] area_Right area_Left

两个闭合区域的面积之和为2.0043456631323346。

例 3 ： 求f(x)和g(x)的函数曲线所形成的非闭合区域的面积

已知 f(x)=sin(x) g(x)=cos(x) (0<x<π)，求这两个函数曲线所形成的非闭合区域的面积

例3求解步骤如下：

• 写出f(x)和g(x)的自定义函数，并确定 x 的取值范围

def f(x): return np.sin(x) def g(x): return np.cos(x) x = np.linspace(0 pi 100)

• 绘制f(x)与g(x)曲线的代码，输出结果如图8

plt.plot(x f(x)) plt.plot(x g(x)) plt.fill_between(x f(x) g(x) color = 'pink' alpha = 0.5) plt.text(0.25 0.60 'Left') plt.text(1.8 0.25 'Right') plt.show()

• 绘制f(x)-g(x)曲线的代码，输出结果如图9，

plt.plot(x f(x)- g(x)) plt.axhline(color = 'black') plt.title('f(x) - g(x) = 0 ');

• 优化 f(x) 和 g(x) 的求解结果

from scipy.optimize import root_scalar

• 定义f(x) - g(x)的函数

def difference(x): return f(x) - g(x)

• 求出f(x) - g(x) = 0 的根

root_scalar(difference bracket = [0 pi] method = 'bisect') roots = root_scalar(difference bracket = [0 pi] method = 'bisect') roots.root

结果为0.7853981633974483。

• 绘制f(x)-g(x)曲线的代码，并在曲线上标出零点，输出结果如图10，

plt.plot(x f(x) - g(x)) plt.axhline(color = 'black') plt.title('f(x) - g(x) = 0'); plt.plot(roots.root difference(roots.root) 'ro');

• 绘制f(x)-g(x)曲线，并标出交点，如图11

plt.plot(x f(x)) plt.plot(x g(x)) plt.plot(roots.root f(roots.root) 'ro')

• 定义求非闭合区域面积的函数，并计算出两个非闭合区域的面积

def Left(x): return g(x) - f(x) def Right(x): return f(x) - g(x) area_Left = quad(Left 0 roots.root)[0] area_Right = quad(Right roots.root 2)[0] area_Right area_Left

两个非闭合区域的面积之和为1.3352765344676507。

例 4 ：如图12，求f(x)和g(x)的曲线合围而成的多个区域的面积之和，

例4中f(x)和g(x)两条曲线形成的的合围区域较多，但是求区域面积的方法与例2和例3类似，求解步骤如下：

def blue_curve(x): return x**4 2*x**3 - 12*x**2 - 15*x 22 def yellow_curve(x): return 0.5*np.sin(x) x = np.linspace(-4.5 4 100)

绘制f(x)和g(x)的曲线图（图13），代码如下：

plt.plot(x blue_curve(x)) plt.plot(x yellow_curve(x)) plt.fill_between(x blue_curve(x) yellow_curve(x) color = 'pink' alpha = 0.5) plt.text(-4.3 5 '1') plt.text(-3.2 -8 '2') plt.text(-1 5 '3') plt.text(2 -10 '4') plt.text(3.5 5 '5') plt.show()

• 绘制f(x)-g(x)曲线的代码，并在曲线上标出零点，输出结果如图14

plt.plot(x blue_curve(x) - yellow_curve(x)) plt.axhline(color = 'black') plt.title('f(x) - g(x) = 0'); plt.plot(roots_1.root difference(roots_1.root) 'ro') plt.plot(roots_2.root difference(roots_2.root) 'ro') plt.plot(roots_3.root difference(roots_3.root) 'ro') plt.plot(roots_4.root difference(roots_4.root) 'ro');

• 定义求合围区域面积的函数，共5个

def area_One(x): return blue_curve(x) - yellow_curve(x) def area_Two(x): return yellow_curve(x) - blue_curve(x) def area_Three(x): return blue_curve(x) - yellow_curve(x) def area_Four(x): return yellow_curve(x) - blue_curve(x) def area_Five(x): return blue_curve(x) - yellow_curve(x)

• 求出五个合围区域的面积，及五个合围区域面积的和

area_first = quad(area_One -4 roots_1.root)[0] # （合围区域1的面积为2.269226788589267） area_second = quad(area_Two roots_1.root roots_2.root)[0] # （合围区域2的面积为14.145183556035736） area_third = quad(area_Three roots_2.root roots_3.root)[0] # （合围区域3的面积为52.57306136862575） area_fourth = quad(area_Four roots_3.root roots_4.root)[0] # （合围区域4的面积为32.5705234694899） area_fifth = quad(area_Five roots_4.root 4)[0] # （合围区域5的面积为65.4734188683106） Total_area = area_first area_second area_third area_fourth area_fifth # （5个合围区域的面积之和为167.03141405105126）

（注：图1、图2和图12中，上一行为表达式的显示状态，下一行为表达式的输入状态。）

附：

例题4中 f(x)和g(x)的值差别太大，g(x)在前面的图上看起来是一条直线，当g(x) = 30*sin(x) ，效果如下图。因平台对文章修改有字数限制，前面例4的内容就不修改了，各位看官将就看吧！