线性代数计算行列式技巧：趣味线性代数五

线性代数计算行列式技巧：趣味线性代数五求解这个方程，比代入法更简单的是消元法，哪怕只是两式减一次，也会让方程组变得简单一些，对不对？那么，我们用（1）式减（2）式，（2）式除以3，得到新的方程组：择出它的系数，对应上面给出的行列式二阶行列式的计算比较简单，相当于两个二维向量的内积，4*3-2*3=6即是上图中平行四边形的面积。但对于三阶及以上的行列式，计算就变得复杂了，维度越高越复杂，简化行列式就是势在必行的事了。那么，行列式的简化该如何入手呢？我们来看一个二元一次方程组，如下：

在线性代数知识点摘抄（2），对换、行列式的性质中，我们摘抄了教材上关于行列式元素对换以及行列式性质的相关知识点。这些知识点的学习，目的是为了简单化行列式的计算。

那么，行列式为什么要简化呢？

我们来看一个简单的二阶行列式：

前面的篇章里，我们讲过，二阶行列式对应的几何意义是平行四边形，其平面图形如下图：

二阶行列式的计算比较简单，相当于两个二维向量的内积，4*3-2*3=6即是上图中平行四边形的面积。

但对于三阶及以上的行列式，计算就变得复杂了，维度越高越复杂，简化行列式就是势在必行的事了。

那么，行列式的简化该如何入手呢？我们来看一个二元一次方程组，如下：

择出它的系数，对应上面给出的行列式

求解这个方程，比代入法更简单的是消元法，哪怕只是两式减一次，也会让方程组变得简单一些，对不对？那么，我们用（1）式减（2）式，（2）式除以3，得到新的方程组：

这样计算就简单很多了吧

择出它的系数，得到新的行列式：

对应的几何图形，如下图：

它的面积等于2，乘上被方程组的（2）式除掉的3，正好是6，与上一个行列式对应的平行四边形面积相等，重要的是，它变成了一个正方形。

从上述内容，我们可以得出两点结论：

1、一个行列式有N多个变形体，它们都是等价；

2、向量为非正交状态的行列式，可以通过简化，转换为正交状态。

回到第一个行列式，根据行列式的性质，我们对它做几次简化：

对应的平行四边形变化如下图：

经过行列式的两次简化，我们成功地把一个平行四边形掰直了，两个向量的内积2*0 0*3=0，也说明它们是垂直的。相应的，所有向量线段都落在了维度轴线上，向量坐标只剩下一个非零值。

从二阶行列式推广到N阶行列式，原理是不变的。

我们把一个行列式看作一个向量空间，行数是它的维度数，列数是向量线段的个数。

行列式的简化对应多元方程组的消元，那就从行列式的某个角点开始，消掉N维向量线段的N-1个维度坐标。然后，行列式就等于N维向量的标量乘积（N维超立方体）。

以下面的行列式为例：

我们来一个随性操作，哪里好算出零，先简化哪里。

1、第4列 第3列：

2、第2行 第1行；然后，第4行-第3行-第2行和第3行-1/2第2行：

3、第4行-1/7第3行：

总之，只要你喜欢，从哪个角开始简化都成，结果都一样。

即便已经简化成可计算的三角行列式，仍然可以继续简化，直至把它变成对角行列式。

有：

1、提取第2行和第4行的公因子：

2、第1行-3X第4行，第2行-第4行，第3行-3X第4行；然后，第1行 第3行，第2行-第3行，提取公因子（-1），有：

经过最终简化，变成了对角行列式。把相应的公因子放回到行列式里，有

可以看出，对比简化后的对角行列和简化前的三角行列式，对角线上的数值是一样的，计算结果也是一样的。

为什么会这样呢？看下图：

图一对应三角行列式，图二对应对角行列式

对于计算图的平行四边形的面积而言，向量（2，2）的第二个坐标与平行四边形的面积不相关，那么三角形列式和对角行列式斜线上的数值乘积是等价的。