10大著名悖论同心圆（追乌龟撞出大黑洞）
10大著名悖论同心圆（追乌龟撞出大黑洞）问题1：假如，阿基里斯跑的时候手里有个硬币，开始跑的时候记下乌龟的位置，在到达这个位置的时候就把硬币翻一个面，然后再看下乌龟的位置，在到达这个位置的时候再把硬币翻一个面，一直这么重复。请问阿基里斯在超过乌龟的时候硬币是正面还是反面？下面我们来思考两个引申问题：这个悖论甚至引发了第二次数学危机，现代大部分人都会条件反射地运用高等数学的“极限”或者“微积分”来解决这个悖论。实际上，解决这个悖论，根本不需要动用上述“核武器”，只需要一点哲学思考即可：芝诺在上面的诡辩中，其实巧妙地用空间上的无限分割把人们绕进去了，但是他有意回避了时间也是无限分割的。无论是空间还是时间，在这个故事中尽管被分割成了无限多项，但是总和的结果是有限的——如果芝诺否定这个结论，那么根据反证法，他就不得不放弃对空间无限分割的前提——一言以蔽之，无穷有两层含义：一个是项数的无穷，一个是结果的无穷，项数的无穷不等于结果的无穷。
引言创建古希腊不可知论学派的巴门尼德，活跃于2500年前。巴门尼德认为那个年代的朴素唯物主义理论有一个弱点：既主张世界是由物质组成，但是又允许真空。 于是他提出：真空并不存在，整个世界由一个永恒、均匀、单一的球体构成，由此得出的一个直接推论是： 运动是不存在的。
为了维护他的学说，他的得意弟子芝诺创造了著名的悖论。所谓的“悖论”就是隐含自相矛盾的陈述或者命题。国人接触最早的悖论就是小时候听到的“自相矛盾”的成语故事。
芝诺一生共提出过40个悖论，大部分已经失传，流传下来最有名的悖论就是——阿基里斯与乌龟悖论。
该悖论中的阿基里斯 (Achilles) 是希腊神话中的勇士， 体力过人、 长于奔跑， 乌龟则是被广泛视为移动缓慢的动物。 阿基里斯与乌龟悖论宣称如果阿基里斯与乌龟赛跑， 只要让乌龟先爬一段路， 阿基里斯就不可能追上。 理由是： 每当阿基里斯追到乌龟先前所在的位置时， 乌龟总是又往前爬了一段…… 这个过程无法穷尽， 故而阿基里斯不可能追上乌龟。
这个悖论甚至引发了第二次数学危机，现代大部分人都会条件反射地运用高等数学的“极限”或者“微积分”来解决这个悖论。
实际上，解决这个悖论，根本不需要动用上述“核武器”，只需要一点哲学思考即可：
芝诺在上面的诡辩中，其实巧妙地用空间上的无限分割把人们绕进去了，但是他有意回避了时间也是无限分割的。无论是空间还是时间，在这个故事中尽管被分割成了无限多项，但是总和的结果是有限的——如果芝诺否定这个结论，那么根据反证法，他就不得不放弃对空间无限分割的前提——一言以蔽之，无穷有两层含义：一个是项数的无穷，一个是结果的无穷，项数的无穷不等于结果的无穷。
下面我们来思考两个引申问题：
问题1：假如，阿基里斯跑的时候手里有个硬币，开始跑的时候记下乌龟的位置，在到达这个位置的时候就把硬币翻一个面，然后再看下乌龟的位置，在到达这个位置的时候再把硬币翻一个面，一直这么重复。请问阿基里斯在超过乌龟的时候硬币是正面还是反面？
问题2：假如阿基里斯超过乌龟后，你站在他的面前打开他手看了下硬币，假如是正面。然后你问阿基里斯，你刚才上一次看到硬币是反面的时候，是位于乌龟的前面还是后面？阿基里斯会怎么回答？
对于问题1：
硬币翻转的次数等于空间/时间无限分割的项数，项数无穷，所以翻转的次数是无穷。无穷是不能讨论奇偶性的——如果你认为它是奇数，总可以再增加一项仍然是无穷，使得项数变成偶数；反之亦然——从而得到翻转的次数既可以是奇数也可以是偶数，最终推得: 硬币既可能朝上，也可能朝下。
对于问题2：
为了叙述方便，假设最终追上的地点是B。假设上次硬币是反面时在前面，那么说明此时阿基里斯已经到达B，而根据题设，到达B时硬币是正面，矛盾；再来假设上次硬币反面时在后面，并假设此时乌龟爬到A点，那么他要赶上乌龟，要经过A点和B点，到A点时硬币变成正面，到B点时硬币变成反面，与题设矛盾。两种假设都产生矛盾，所以得到: 上次硬币为反面时，阿基里斯既不可能在前面也不可能在后面。
对于问题1：
当阿基里斯与乌龟的距离小于普朗克长度时，根据海森堡测不准原理，其实是测不准位置的，换言之，根本就无法知道在哪里翻硬币，于是硬币既可能朝上也可能朝下了。
如果说得更严格一些，要测量乌龟或者阿基里斯的位置就需要用光子这样的粒子去照射，通过反射来推算。
但是距离越小，用于测量的光子的波长就越小，频率也就越高，能量也就越大——是不是就像一个黑洞？黑洞视界尺寸内，所有的物理规律都失效了。
对于问题2：
既然在普朗克尺度下，无法精确测量阿基里斯与乌龟的距离，那么也没有办法知道何时在前何时在后了，换言之，原问题在现实物理规律的支配下就是个伪命题，从而：上次硬币为反面时，阿基里斯既不可能在乌龟的前面也不可能在后面。
后记古希腊的先哲留下了太多的思想瑰宝，即便是到了数千年之后的现代，仍然有着指导意义。很多看似熟悉的东西，如果我们从不同的角度去深挖，就会发现更为深刻甚至震撼的真理。哲学、科学都是这样往前进步的。让我们一起感受智慧之光、体会科学之美！
