罗素悖论0和1（加百列号角悖论之解）
罗素悖论0和1（加百列号角悖论之解）换句话说，科赫雪花具有有限的面积，而周长却趋于无限大（让人头疼）。这是一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界线，包围着有限的面积。例如，关于有限与无限的科赫雪花（Koch snowflake）问题，是一种奇特形状的几何曲线，又称雪花曲线。科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。已经证明科赫雪花的面积是一个有限值，而每条科赫曲线的长度是无限大，具有分形曲线的性质。还有一些简单的、逻辑不一致的论点是非真实的，只是偷换了概念。有些事情似乎是真的不可能，它们在现实意义上是不可能存在的。数学悖论，作为悖论的一种，主要发生在数学研究之中。按广义的悖论定义，所有数学规范中发生的无法解决的矛盾，可以在新的数学规范中得到解决。数学悖论中比较著名的有：贝特朗悖论、谷堆悖论、偶数与自然数一样多、科赫雪花、加百列号角等。
悖论，是一种认识矛盾，包括了逻辑矛盾、语义矛盾、思想方法的矛盾。早在古希腊时期，数学和哲学家团体埃利亚学派（Eleatic school）的代表人物芝诺（Zeno of Elea，490B.C.～430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论、运动场悖论）就闻名于世，世称芝诺悖论（Zeno's paradoxes），至今仍余波未平。
在近代，著名的悖论有伽利略悖论、光速悖论、双生子佯谬等等。这些悖论从逻辑上来看都是一些思想矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思想上的反映。
悖论似乎是听起来可能而实际不可能的事情。但悖论并不等同于不可能，某些事情看似不可思议，实则与规则并无冲突。
还有一些简单的、逻辑不一致的论点是非真实的，只是偷换了概念。有些事情似乎是真的不可能，它们在现实意义上是不可能存在的。
数学悖论，作为悖论的一种，主要发生在数学研究之中。按广义的悖论定义，所有数学规范中发生的无法解决的矛盾，可以在新的数学规范中得到解决。数学悖论中比较著名的有：贝特朗悖论、谷堆悖论、偶数与自然数一样多、科赫雪花、加百列号角等。
例如，关于有限与无限的科赫雪花（Koch snowflake）问题，是一种奇特形状的几何曲线，又称雪花曲线。科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的。已经证明科赫雪花的面积是一个有限值，而每条科赫曲线的长度是无限大，具有分形曲线的性质。
换句话说，科赫雪花具有有限的面积，而周长却趋于无限大（让人头疼）。这是一个匪夷所思的悖论：无穷大的边界线，包围着有限的面积。
很显然，悖论异于逻辑上的不可能。就让我们到一个定义明确的数学世界看看。在数学这个无限的世界里，时常会出现许多矛盾的实体。一个典型的例子就是，通常被人们称为“加百列号角”（Gabriel's Horn）的三维结构。
意大利数学家托里拆利（Evangelista Torriceli），将最经典的反比例函数 y=1/x （ x 大于等于1）的那部分绕 x 轴旋转一周，得到一个小号状的三维几何形状，也被称为托里拆利小号（Torriceli's Trumpet）。
这个旋转体像极了一个又直又长的狩猎号角（或是无帽檐的巫师帽子），尖端越来越小，直至无穷。尽管它的长度无限，但它的体积却是有限的。用数学的观点分析，它反映了无穷数列的性质，比如，1 1/2 1/4 1/8 ......直到无穷。它有无限多项，但数列之和为一个有限常数2。我们正在讨论的加百列号角也是如此。
这个加百列号角，是一种数学模型，也是非常奇特的一种东西。为什么说它奇特？因为“号角”的体积有限，但它的表面积是无限的。
三、加百列号角与油漆匠悖论这个加百列号角，三维体积和二维的表面积在微积分发明之前Evangelista Torriceli 就已经计算出来了。现在借助于微积分很容易就得到计算结果。
由计算可知，这个号角的表面积是无穷大∞，但它的体积只有 “pi” ，即3.14159...
你也许会问，“pi”（3.14159）什么？这取决于 y=1/x 里的x使用的是什么单位。如果x以米计，则体积就是3.14159立方米；如果x以英呎计，体积就是3.14159立方英尺。
加百列号角的这个结果令人惊诧，明显有悖于人的直觉：体积有限的几何体，表面积竟然是无穷大。
思考一下，只需要“pi”（3.14159）单位的油漆就能够灌满整个号角。但如果想要涂满号角的表面，却需要无限多的油漆，漆匠无法做到。这就被称之为“加百列号角与油漆匠悖论”。
称其为悖论，是因为它看上去不可思议，但在数学上却是真的。在数学结构内，号角的的矛盾本质是不容置疑的。现实世界自然不会存在这种东西，但不存在不代表不可能。
对于这个加百列号角与油漆匠悖论，我们如何来解读呢？
为了避免此问题给人们带来困惑，我们可以这么说。数学上的无限，与现实世界有别。在物理学上则是另一回事情。按常识，这个号角在趋于无穷时会变得越来越狭窄。不久后（在处理无穷时，任何一个特定的数字都是不久后），号角会变得非常细，以至于连一个分子的油漆也涂不上去（分子太大）。因此，在物理上你无法做到全面涂色。
对此悖论的另一个解读是（还是用灌满油漆的例子），油漆灌满整个号角之后是有限的体积，涂满号角表面的面积是二维的。理论上二维面积的涂层可以没有厚度，所以有限体积的油漆完全可以涂满无限的面积。因为理论上涂层厚度无限趋近于零时，那么有限的油漆可涂刷的面积显然也将趋于无限大。
综上所述，所谓加百列号角与油漆匠悖论，只是人们“理所当然”的错觉。我们之所以会误入圈套，是因为我们洞悉伪像的能力不够。
【谢谢阅读】
