统计学漫谈概率（概率和统计的陷阱）
统计学漫谈概率（概率和统计的陷阱）上前线那就又有两种可能：上前线或者不上前线，不上前线有啥可怕的？因为应征入伍后你无非有两种可能：有战争或者没有战争，没有战争有啥可怕的？有战争那就又有两种可能：
上世纪中叶，为了应付两次世界大战，美国军队向社会征兵。
在这个过程中，发生了两件很有意思的事。
首先是美国陆军的征兵广告：
“来当兵吧！当兵其实并不可怕。
因为应征入伍后你无非有两种可能：
有战争或者没有战争，没有战争有啥可怕的？
有战争那就又有两种可能：
上前线或者不上前线，不上前线有啥可怕的？
上前线那就又有两种可能：
受伤或者不受伤，不受伤又有啥可怕的？
受伤后那就又有两种可能：
轻伤和重伤，轻伤有啥可怕的？
重伤后那就又有两种可能：
可以治好和治不好，可治好有啥可怕的？
治不好，那你就死了，死了还有啥可怕的呢？”
如此地有理有据振振有词——
相比之下，同时期的美国海军征兵广告就显得很严肃正经——当然，仅仅是显得——因为它就这么一句话：
“美国海军的死亡率比纽约市民还要低！”
这句话当然很有吸引力，下面还附有详细的统计数据：
据统计，现在纽约市民的死亡率是每千人有16人；而即使在战时，美国海军士兵的死亡率也不过每千人9人。
潜台词不言而喻：美国海军是一个比都市纽约还要更安全的地方，你还不来，更待何时？
比较陆军和海军的征兵广告，我们会发现，前面的例子显得很逗，但大多数人会一笑了之；而后一个例子，由于它有“科学的”统计作为基础，所以没准还真能蒙住一些不仔细想明白的人！
当然啦，其实原因也很简单：
在纽约市民的死亡人口里，大多数应该都是生存能力较差的老人、病人、婴儿等；
而海军士兵大多由精壮的成年人组成，这些成年人在都市里也许死亡率还不到千分之二，可是在海军里却达到了死亡率千分之九。
所以显然对这些成年人而言，海军是更加危险的所在。
道理其实并不复杂——两个死亡率所面向的统计对象并不一样，所以结论并没有可比性——但由于它披着“统计”“数字”的外衣，于是那些相信“数字不会说谎”的善良人们，悄悄地就被蒙了。
今天的主题就是这个：来看一些由概率统计的陷阱构成的趣味问题。
【换还是不换？】
这个问题之前我们有提到过，也给出过详细的解释，待会看不明白的小伙伴可以点此阅读原文。
假设你正在参加一个节目，你面前有三扇门，其中有一扇门里是一辆崭新的汽车，另外两门里都是一只羊。
——这里我们假设汽车比羊值钱哈。
你选择了其中一扇门，然后知道汽车位置的主持人打开了一扇你未选中的门，让你看到门里是一只羊。
此时还有两扇门是闭着的，其中的一扇是你之前选的。
于是主持人问你，你是否要更换选择？还是坚持原来的选择？
也许有很多人会本能地认为更换选择没有意义，而且由于现在只剩两门，所以你选中汽车的概率是50%，是吧！
你错了。
在这个问题里，换门要比坚持原来的选择更划算：
两者之间并不是50%对50%。
问题就出在给你打开一扇门的主持人，其实他并不是随意打开的。
他知道汽车的位置，所以他开的门里永远不会有汽车。
这样一来，由于你一开始选中汽车的概率是1/3，所以如果你更换一次选择，你后来选中汽车的概率将为2/3；而如果你坚持原始选择，不做更换，则你选中汽车的概率将仍然只有开始的1/3。
注意这里的微小的区别：如果主持人也蒙在鼓里，他随便打开了一扇门，然后你发现里面是羊——这种情况下，换不换，选中汽车的概率都是50%。
被概率骗了的感觉呼之欲出有木有！
这个经典的问题被称为三门问题，最早是在一档电视节目中出现，主持人名叫蒙提霍尔，所以也被称为蒙提霍尔问题。
值得注意的是，当时这个节目播出后，有无数人质疑这一结论，其中甚至还不乏教授和高等学者。但事实证明这一结论是对的，质疑者们忽略了主持人是知道真相的这一细节。
【背面到底是什么？】
你的面前有三张纸片，其中一张两面全红（记为A），一张两面全黑（记为B），还有一张一面红一面黑（记为C）。
我把三张纸片都收起来，然后给你展示其中一张的一面，比如是红色。
这时我问你，你猜这张纸片的背面是红还是黑？
你会猜红还是黑？
第一反应是不是和前面那个问题类似：红黑各半？
因为有红色的纸片就AC两张，所以展示出来的纸片自然就是AC的其中之一；
而又因为它俩背面是一红一黑，所以自然是各占50%啊。
你错了。
因为你看到的这张红色的面，它可能是A的正面，也可能是A的背面，也可能是C的正面。
这三种可能性是等概率的，各占1/3。
而在这三种情况下，前两种的背面都仍然是红色，只有第三种的背面是黑色。
也就是说，你看到的这张红色的面，其背面仍然是红色的概率高达2/3，是黑色的概率却只有1/3。
这个问题叫做贝特朗箱子悖论，原题是有三个箱子，每个箱子有两个隔板，每个隔板中放着黄金或者白银——对应着纸片的两个面为红色黑色。
【生日的悖论】
1、需要多少人在一起，就能保证其中有两人生日相同？
2、需要多少人在一起，就很有可能出现两人生日相同？
第一个问题很好解答：由于一年有365天（简化问题，不考虑2月29日生日的小伙伴哈），这样可能存在的不同生日有365种；那么根据抽屉原理，要有366个人在一起，才能保证其中至少有两个人生日相同。
这当然是正确的。
第二个问题呢？
从保证出现生日相同到有很大可能出现生日相同，稍微放宽了一点点限制，带来的结论却有着意想不到的突破。
我们的第一反应，是不是觉得至少得有一两百人，才很可能出现两个人生日相同？
又错了。
概率论的计算告诉我们，只要任取23个人，其中出现生日相同的情况就超过了50%；换言之，在23个人中，有人生日相同的可能性就超过了没有人生日相同的可能性。
事实上，我们将“人数”和“出现生日相同的人的概率”对应的关系制成下表：
从图中可以看出，这两者之间并不是“平稳”增长的关系。
随着人数的增加，在10到50个人之间，出现生日相同的可能会急剧陡增：
10个人中，出现生日相同的可能只有约10%；
23个人中，出现生日相同的可能已超过50%；
41个人中，出现生日相同的可能已超过90%；
57个人中，出现生日相同的可能已达到99%！
而从99%到100%，需要从57个人增加到366个人。
想不到吧！
这也难怪，我们可以回想下，从小学到大学，是不是总是能发现班上有同月同日生的童鞋！
概率诚不我欺。
【哪个数字开头最多？】
在你平时看到的所有的数中，以哪个数字开头的数出现的最多？
第一反应，似乎1~9开头的概率都差不多吧？
事实可能要让你大跌眼镜：
以1开头的数占到了30%！
这是美国物理学家本福特发现的，所以被称做本福特定律，也被称为第一数字定律。
关于该定律的发现，有一个（似乎不太可信的）故事说，本福特在图书馆翻阅对数表（数学家编制的一种便于查阅对数的表）时发现：
表里以1开头的书页比其他的书页更脏一些，说明在平时会被更多的人翻阅。
他的进一步研究发现：在随机出现的数中，只要数据的样本足够大，那么其中以1开头的数出现的频率并不是平均值1/9=11.1%，而是高达30%。
以2开头的数出现的频率是17.6%，也远超过平均值11.1%。
从3往后，每个数字为首出现的频率依次减少，以9开头的数出现频率最低，只有4.6%。
具体可参见下图，其中横坐标为开头的数字，纵坐标为概率的百分数。
这个定律广泛存在于我们日常生活的方方面面，我们平时所接触到的很多数据，比如人口、科学常数、体育竞技比赛的统计表，乃至数学公式中的斐波纳契数列、指数数列……各种完全无关的数据中，都有这个定律作用的身影。
因此，人们可以用它来检验某些经济、会计、金融甚至选举中的数据，典型的例子就是利用本福德定律来检验被审计单位是否作假，来提高审计效果。
事实上，科学家依据这一定律发现了2004年美国总统选举中，佛罗里达州的投票欺诈行为；
又比如在2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，当时就传出了该公司高层管理人员涉嫌做假账的传闻；而事后人们发现，安然公司在2001年到2002年所公布的每股盈利数字就不符合本福特定律：这是数据被改动过的强力佐证。
