带电粒子在磁场中运动的相关公式（带电粒子在磁场中运动的多解问题）

带电粒子在磁场中运动的相关公式（带电粒子在磁场中运动的多解问题）A.4qB/m例题：一质量为m，电荷量为g的负电荷在磁感应强度为的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（AC）【解析】正负电荷不明确，有两解.2.磁场方向不确定引起多解由于磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出磁场的方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。

带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题由于各种不确定因素引起多解，形成多解的原因有：

1.带电粒子的电性不确定引起多解

受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的转动方向不同，运动轨迹不同，导致形成多解。

例题：如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界。现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少？

【解析】正负电荷不明确，有两解.

2.磁场方向不确定引起多解

由于磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出磁场的方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。

例题：一质量为m，电荷量为g的负电荷在磁感应强度为的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（AC）

A.4qB/m

B.3qB/m

C.2qB/m

D.qB/m

【解析】依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。

3.速度方向的不确定引起多解

带电粒子从某一方向射入磁场，由于速度不确定，粒子受到洛伦兹力大小或方向不同，就会引起粒子受到的其它力发生变化，从而形成多解。

用一根长L＝0.8m的轻绳，吊一质量为m＝1.0g的带电小球，放在磁感应强度B＝0.1T、方向如图所示的匀强磁场中，把小球拉到悬点的右端，轻绳刚好水平拉直.将小球由静止释放，小球便在垂直于磁场的竖直平面内摆动，当小球第一次摆到最低点时，悬线的拉力恰好为零（重力加速度g取10m/s²）.试问：

（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？

（2）当小球第二次经过最低点时，悬线对小球的拉力为多大？

【解析】

速度方向反向，洛伦兹反向.

例题：如图所示，一个质量为m、带电荷量为＋q的圆环可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中.现给圆环一个向右的初速度v₀，在以后的运动过程中，圆环运动的速度一时间图象可能是选项图中的（AD）

【解析】

洛伦兹力大小不同，受力情况不同，造成运动情况不同.

4.临界状态不惟一引起多解

带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。

例题：如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ＝30°、大小为v₀的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力不计.

求：（1）粒子能从ab边上射出磁场的v₀大小范围.

（2）如果带电粒子不受上述v₀大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.

【解析】临界状态有两种情况.

5.运动的重复性引起多解

带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。

例题：如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B₁与B₂的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B₁＞B₂.一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B₁与B₂的比值应满足什么条件？

【解析】

例题：如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T₀，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：

（1）磁感应强度B₀的大小。

（2）要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v₀的可能值。

【解析】

例题：如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中.圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.要使离子与圆筒内壁碰撞多次后转一圈仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.（设离子与圆筒内壁碰撞时无能量和电荷量损失，不计离子的重力）

【解析】

例题：如图所示，空间存在着两个方向均垂直纸面向外的匀强磁场区域I和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B₁、B₂，且B₁＝B₀、B₂＝2B₀，MN为两个磁场的边界。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从边界上的A点以一定的初速度竖直向上射入匀强磁场区域I中，边界MN上的C点与A点的距离为d。试求该粒子从A点射入磁场的速度v₀为多大时，粒子恰能经过C点？

【解析】

例题：如图所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场｜和，其分界线是半径为R的半圆弧，和的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B.现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PM方向向左侧射出，不计微粒的重力.

（1）若微粒在磁场中，做完整的圆周运动，其周期多大？

（2）若微粒从P点沿PM方向向左射出后直接从分界线的A点沿AO方向进入磁场并打到Q点，求微粒的运动速度大小；

（3）若微粒从P点沿PM方向向左侧射出，最终能到达Q点，求其速度满足的条件.

【解析】

例题：如图为实验室筛选带电粒子的装置示意图，左端加速电极M、N间的电压为U₁。中间速度选择器中存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度B＝1.0T，两板间电压U₂＝1.0×10²V，两板间的距离D＝2cm。选择器右端是一个半径R＝20cm的圆筒，可以围绕竖直中心轴顺时针转动，筒壁的一个水平圆周上均匀分布着8个小孔O₁至O₈。圆筒内部有竖直向下的匀强磁场B₂。一电荷量为q＝1.60×10⁻¹⁹C、质量为m＝3.2×10⁻²⁵kg的带电粒子，从静止开始经过加速电场后匀速穿过速度选择器。圆筒不转时，粒子恰好从小孔O₈，射入，入射方向与O₁O₅平行，最终从小孔O₃射出，若粒子碰到圆筒就被圆筒吸收。求：

（1）加速器两端的电压U₁的大小；

（2）圆筒内匀强磁场B₂的大小并判断粒子带正电还是负电；

（3）要使粒子从一个小孔射入圆筒后能从正对面的小孔射出（如从O₁进从O₅出），则圆筒匀速转动的角速度多大。

【解析】