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数学专题三图形的变换八本书(走进图形世界全章知识汇总)

数学专题三图形的变换八本书(走进图形世界全章知识汇总)特例:三棱锥,四个面都可以看作底面,可看成4个顶点.5、n棱锥:1个底面是多边形,n个侧面是三角形,(n+1)个面,n条侧棱,1个顶点,2n条棱.2、线线相交得到点,面面相交得到线,点动成线,线动成面,面动成体.3、简单几何体的分类:4、n棱柱:2个底面是可以重合的多边形,n个侧面是长方形,(n+2)个面,n条侧棱,2n个顶点,3n条棱.

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写在前面

从开学至今,我们一直在接触代数,从有理数,到代数式,到方程,而从本章开始,我们开始接触几何,先从立体几何开始.

一、知识结构

1、组成几何图形最基本的元素是点线面.

2、线线相交得到点,面面相交得到线,点动成线,线动成面,面动成体.

3、简单几何体的分类:

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4、n棱柱:2个底面是可以重合的多边形,n个侧面是长方形,(n+2)个面,n条侧棱,2n个顶点,3n条棱.

5、n棱锥:1个底面是多边形,n个侧面是三角形,(n+1)个面,n条侧棱,1个顶点,2n条棱.

特例:三棱锥,四个面都可以看作底面,可看成4个顶点.

6、圆柱:2个底面,都是圆,1个侧面;圆锥:1个底面,1个侧面.

7、欧拉公式:顶点数+面数-棱数=2.

8、翻折(轴对称),旋转,平移是图形变换的三种基本方式,这三种变换只改变原图形的位置,不改变原图形的形状和大小.

9、圆柱的侧面展开图是长方形,圆锥的侧面展开图是扇形,正方体的表面展开图有11种,展开时6个面有5条棱相连,故剪开了7条棱.

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相对面关系的快速判断方法:

(1)、如果几个面是连成一串的,那么隔一个面便是相对面的关系.

(2)、如果几个面没有连成一串,那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系.

10、从不同的方向看同一物体时,从正面看到的图叫主视图,从左面看到的图叫左视图,从上面看到的图叫俯视图,即物体的三视图.

11、画三视图时,应注意:主俯长相等,主左高相等,俯左宽相等.

二、典型例题

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例1:

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例2:

如图是一个正方体纸盒的表面展开图,其中的六个正方形内分别标有字“0”“1”“2”“5”和汉字“数”“学”,将其围成一个正方体后,则与“5”相对的是______.

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解析:

根据如果几个面是连成一串的,隔一个面便是相对面的关系.

成“Z”字型的两头即为相对面的关系,可知“1”与“数”是相对面,

“2”与“学”是相对面,

“5”与“0”是相对面.

故填0.


例3:

一个几何体由大小相同的小方块搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则从正面看到几何体的形状图是(  ).

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解析:

根据所给出的图形和数字可得,主视图有3列,每列小正方形数目分别为3,2,3,

故选D.

三、思维拓展

例1:

如图,一个几何体上半部为正四棱锥,下半部为立方体,且有一个面涂有颜色.下列图形中,是该几何体的表面展开图的是( ).

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解析:

由原图可知,涂有颜色的面在侧面,而A、C还原后,有颜色的面在底面,故错误;

D选项还原时,最下方的正方形作为底面,则最下方的三角形与上方一排正方形中最左侧的一个重叠,故错误.

故选B.


例2:

由若干个边长为的正方体堆积成一个几何体,它的三视图如图,则这个几何体的表面积是( ).

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解析:

结合俯视图,我们可以得出,这个几何模型的底层有2+1=3个小正方体,结合左视图和主视图,可以推测第二层应该有1个小正方体,如下图:

数学专题三图形的变换八本书(走进图形世界全章知识汇总)(10)

因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是3+1=4个.

所以表面积为3×6=18cm².

故选B.


例3:

如图是一个正方体纸盒的展开图,当折成纸盒时,与点1重合的点是点_______.

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解析:

我们可以把12,4,9所围成的面看作上面,12,11,9,10所围成的面看作前面,4,5,9,8所围成的面看作右面,则12与1下方的数字重合,5与3重合,8与10重合,6和2重合,7和11和1重合,9,4,12上方的数字不与其他数字重合.

故与点1重合的点是点7,11.

三、思维拓展

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例4:

某长方体包装盒的侧面展开图如图所示,如果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种包装盒的体积.

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解析:

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例5:

如图所示的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线,将这个正方体盒子的表面展开(外表面朝上),展开图可能是( ).

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解析:

由题意得,这个正方体的表面展开图,三条粗黑线所在的面肯定不是相对的,而A选项有两个面上黑线且间隔排列,显然错误,

B选项中,左上角两个面若还原回去,两粗黑线无法相交,故也错误,

C选项中,如果把最下方的小正方形看作正面,则粗黑线的方向应该是左下角与右上角的点相连的对角线,故还错误,

故选D.


例6:

如图是一个正方体,它的每个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6,则可推出“?”处的数字是_______.

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解析:

由图可知,与1相邻的面是2、3、4、5,

∴1与6是相对面,

∴与5相邻的是1、3、4、6,

故2与5是相对面,

∴3与4是相对面,

由第一幅图可知,3在后,将正方体向前翻90度,则3 在上,1 在右,6在左,再将正方体逆时针旋转90°,则6在前.

由第二幅图可知,5在后,将正方体顺时针旋转90°,则5在右,1 在上,6在下,再将正方体向后翻90度,则6在前.

故答案为6.


例7:

在桌上摆有一些大小相同的正方体木块,其从正面看和从左面看到的图形如图所示,则要摆出这样的图形至少需要______块正方体木块,至多需要_______块正方体木块.

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解析:

由主视图、左视图可得,下面一层最少有4×1=4块正方体,最多有4×3=12块正方体;上面一层最少有2×1=2块正方体,最多有2×2=4块正方体,故总共至少需要6块正方体,至多需要16块正方体.

故答案为:6;16

为方便同学理解,将俯视图角度下,每个位置的木块数标上,方便大家理解.

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最少6块

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最多16块

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本讲思考题

图(1)是一个小正方体的表面展开图,小正方体从图(2)所示位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格,这时小正方体朝上一面的字是_______.

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