数学的无穷思想（有温度的数学）

数学的无穷思想（有温度的数学）人们可能会经常有这样的问题，我也操作了，为什么我的操作不可以呢！关于实验操作的好坏，有这样的一项研究，即奥地利学者塞蒂纳的“实验室研究”。他的研究十分清楚地表明了这样一点:关于“实验的好坏”(包括实验设计的合理性、实验设备的可靠性以及实验数据的有效性等)并不存在客观的标准。也就是说 我们可以看到这样一种循环(即所谓的“实验室循环”)：人们主要是依据一定的理论预期来判定一个实验的好坏 而后者又在很大程度上强化了原先的理论。通俗点讲，我们在实验前已经预设了实验目的，而且很明确就是要通过实验获得计算公式。谁的课堂操作活动顺利的获取计算公式，他的课堂实验就是有意义的、高效的、值得我们学习的。比如长方形面积、平行四边形面积、圆的面积……获取公式可能是我们课堂实验的一个目标，但绝不是唯一目标，或终极目标。我们想一下，如果只是为了获取计算公式，我们的数学教学就会演变为“浅层归纳”。而这一切的根源在于我们

像阿基米德一样，刘徽倾力于体积与面积公式的推证，并获得了超越时代的结果。刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。在平面情形，刘徽利用这条原理成功的证明了《九章算术》中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”原则遇到了很大困难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以分割或拼补相等。不过为了在体积上有所作为，数学家门不约而同地借助“无限小”来越过上述障碍。在这方面，刘徽同样表现出惊人的智慧，他在推证《九章算数》中一些立体图形体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。

通过以上摘录我们不难看出，在古代圆柱体积公式并不完全是通过“割补法”获得的。而是一种纯数学的推理，他们把圆柱定义为“圆的均匀分布”，圆柱是由无限个圆组成，但无限个圆又堆积出有限的高度，这种无限中的有限，就渗透着极限与不可分量。这样看来，圆柱体积就是变成了求圆形面积的数量，而这种求体积的思想又拓展到所有直柱体，以至于所有直柱体的体积都可用“底面积×高”来计算。

这样看来，我们是不是可以用这样的例子讲解圆柱体积呢？“若干张圆形纸摞起来构造一个圆柱，以每个圆形纸的面积代表一层体积，再乘高就得到圆柱体积呢！”事实上我们不可以这样讲解圆柱体积，因为它不代表几何直观，这只是一个形象的比喻，是有道理的“化无为有”，更重要的是不适合小学生。教材采取的措施仍然是“无限分割”，因为在圆柱与长方体之间适用“出入相补”原则，而且体积不变。但到了圆锥，就找不到与之匹配的长方体了，所以教材更加直观的建立起圆柱与圆锥体积的倍数关系，从而得出圆锥体积公式，严格的说圆锥体积公式在小学是待证明的数学结论。

在圆柱体积公式推导过程中，重在操作转化，这也是对上述推理的一个现实佐证。但问题是怎么操作，每位同学准备一套学具，进行拼摆活动吗？这只是简单的组合，是经验型操作，并非智慧型操作。在圆柱体积公式操作中，首先突出“分割”，这在六年级上册学习“圆的面积”时已有渗透，对于圆我们可以通过分割“化圆为方”。圆柱可不可以像圆那样通过分割“化圆为方”呢？如果能，怎么分割比较合适。解决了怎么分还有怎么拼的问题，以往的学习经验在此又一次发挥作用，拼成长方体比较合适。开始拼时只是像长方体，在六年级儿童的空间隧道里已经有了无限的概念，而且他的空间观念也会赋予这种无限以相应的图形表象。所以他会想象得出如果分割的再细一些，拼成的立体图形会更接近长方体，这种无限分割的终点就是长方体。教学中，笔者曾经在课堂上分过圆柱形土豆，后来我发现超市里卖的白萝卜更合适。

人们可能会经常有这样的问题，我也操作了，为什么我的操作不可以呢！

关于实验操作的好坏，有这样的一项研究，即奥地利学者塞蒂纳的“实验室研究”。他的研究十分清楚地表明了这样一点:关于“实验的好坏”(包括实验设计的合理性、实验设备的可靠性以及实验数据的有效性等)并不存在客观的标准。也就是说 我们可以看到这样一种循环(即所谓的“实验室循环”)：人们主要是依据一定的理论预期来判定一个实验的好坏 而后者又在很大程度上强化了原先的理论。通俗点讲，我们在实验前已经预设了实验目的，而且很明确就是要通过实验获得计算公式。谁的课堂操作活动顺利的获取计算公式，他的课堂实验就是有意义的、高效的、值得我们学习的。比如长方形面积、平行四边形面积、圆的面积……获取公式可能是我们课堂实验的一个目标，但绝不是唯一目标，或终极目标。我们想一下，如果只是为了获取计算公式，我们的数学教学就会演变为“浅层归纳”。

而这一切的根源在于我们以何种思想来指导自己的教学，如果你从有温度的数学的角度来考虑，就会觉得过程大于结论。