一元二次方程经典40题（彻底讲透一元一次方程及解法与原理）
一元二次方程经典40题（彻底讲透一元一次方程及解法与原理）他一生的六分之一是幸福的童年，便可知他一生度过了多少个寒暑，过路的人！这儿埋葬着刁番都。请计算下列数目，
小学高年级的同学学过简易方程，初一的同学就要学习一元一次方程了。方程是很重要的数学工具，也是我们解决问题的有利武器。
按照难度从低到高的顺序为同学们准备了文笔优美的名家名题，历史名题和经典名题。后面的例题技巧性很强，解答非常精彩。今天的旅程就先从古希腊开始吧。
刁番都的墓志铭
刁番都(约公元246年—330年)，古代希腊的一位数学家关于他的生平，几乎没有什么保留下来。我们所知道的一点点，都是由他的墓志铭上得来的。这墓志铭很特别，是一首诗，也是一道有趣的数学题。他墓碑上的碑文是这样的：
过路的人！
这儿埋葬着刁番都。
请计算下列数目，
便可知他一生度过了多少个寒暑，
他一生的六分之一是幸福的童年，
十二分之一是无忧无虑的少年，
再过七分之一的生命旅程，
他建立了幸福的家庭，
五年后儿子出生，
不幸儿子竞先于父亲四年而终，
年龄不过父亲享年的一半，
晚年丧子老人真可怜，
悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，刁番都活到多少岁，
才和死神见面。
这段墓志铭写的太妙了，谁要想知道。刁番都的年纪，谁就得动脑想一想，动手算一算，而这又正好提醒前去瞻仰的人们，不要忘记刁番都献身的事业。
你能根据这首诗给出的条件，用几种不同的方法求出刁番都享年多少吗？
一、算术方法
这道题数量关系较复杂，用算术方法来解决时还有点难度，不过仔细分析发现有两个数字：“5年后儿子出生”与“儿子先于父亲4年而终”值得注意，如果能知道这9年占他一生的几分之几，问题就得以解决。
我们还可以这样思考，从诗的内容可知。刁番都去世时的年龄应是6、12 、7、2的公倍数，由于12=6×2，所以，为求刁番都的年龄，只需求12与7的公倍数。12与7的公倍数是84、 168、252......。显然只有最小公倍数84符合题意。其他数据不合情理，所以刁番都享年84岁。
这是另一种算术解法。
所以我们知道一些刁番都的生平如下：21岁结婚，38岁做了爸爸，80岁死了儿子，84岁自己也死了。
二、代数解法
设所求年龄为x，依题意可得方程
从上面的解法可以看出代数解法与算术解法思路不同，各有自己的一套规则，但是代数解法显示出了巨大的优越性：简洁明了。
方程是数学中的一个最基础最重要的概念之一，也是数学研究的对象和工具之一。学好这一章的知识，对提高用数学解决实际问题的能力和今后进一步的学习，数理化都是非常重要的。
爱神的烦忧
《希腊文选》中用诗歌的形式讲述了这样一个数学故事：
爱神爱罗斯正在发愁，
女神基朴里达问其根由：
“你为什么烦忧?
我亲爱的朋友！”
“我在黑里康山采回仙果，
路遇缪斯诸神嬉戏抢夺，
攸忒皮攫去十二分之一，
克力奥拿走五分之一，
退里亚取了八分之一，
二十分之一属于了麦逢麦尼，
四分之一被忒普希科里抢走，
七分之一到了厄拉托之手，
坡力欣尼亚拿得最少，
也还有三十个仙果进口。
攸累尼亚占了一百二十个，
卡来奥皮更有三百个之多。
我回家时几乎双手空空，
唯有缪斯们留给我的五十个仙果”。
爱罗斯当初采摘，
共有仙果几颗?
诗中提到的人，都是古代希腊神话中的神.爱罗斯是爱神.基朴里达是塞浦路斯岛的守护神.缪斯是希腊神话中司文艺美术九女神的总称.这九女神是：攸忒皮，克力奥，退里亚，麦逢麦尼，忒普希科里，厄拉托，坡力欣尼亚，攸累尼亚，卡来奥皮，她们各司其职。
像前面刁番都的墓志铭的题目一样，解答本题可以用算术方法也可以用代数方法.算术方法留给读者自己去做，这里我们用代数方法来解.
设爱罗斯共采仙果x个，则9位女神分别得到的仙果的个数分别为
解这个方程，得x=3360.所以爱罗斯采摘的仙果共3360个。
一元一次方程和它的解法
等式与代数式
用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。等式中等号两边可以是数 可以是含字母的代数式 也可以是以后将会学习的其它式子。如10=2 3 5 (-5)²=25 a b=b a x 1=6等都是含有等号的式子 它们都是等式。等式与代数式的区别在于有没有等号。代数式不含等号或不等号“≠”、“>”、“<”等 也就是说 代数式表示若干个量之间的运算关系 而不表示它们之间的大小关系。如前面说到的4个式子是等式 而不是代数式。3x 2 3a² 4b-2 x² x-1 3 4等都是代数式而不是等式。又如5≠7 3x 1<7 x²>4等 既不是等式 也不是代数式 它们是不等式。
等式的性质1：
等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。
等式的性质除课本已有的两条之外 我们还提出下面很显然的两条:①对称性:如果a=b 那么b=a;②传递性:如果a=b b=c 那么a=c。
这四条性质很重要 它是我们对等式变形的依据 也是解方程时 对方程进行变形的依据。因此一定要掌握好。
这四条性质在运用中 比较容易出现错误的是用第二条性质时 在不经意中 将等式两边除以0而产生错误的等式。比如5×(5-7 2)=8×(5-7 2)这个式子 本来是等式 若将两边同除以(5-7 2) 得5=8 这显然是错误的 错在何处?原来5-7 2=0 两边同除以0 自然就不对了。又如3x=5x 是个等式 两边同除以x 得3=5 变形前是一个一元一次方程 变形后却成了一个矛盾的等式 为什么?原来3x=5x的解是x=0 两边都除以0 显然是不行的。
请务必记住:凡是等式(包括方程)的两边同除以某个数时 一定要注意看它是不是为0 若是同除以某个字母或含字母的代数式 一定要考察一下它是否等于0。
例 用适当的数或整式填空 使得所得的结果仍是等式 并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的:
(1)如果5-3x=x 那么5=（ ），（ ）=5；
(2)如果3x 6=0 那么x=（ ）。
解 (1)5=4x。根据等式性质1 等式两边都加上3x 并合并同类项得5=4x 再由对称性得4x=5。
(2)x=-2。根据等式性质1 等式两边都加上-6 合并同类项后 得3x=-6 再根据等式性质2 两边同除以3 得x=-2。
方程和它的解
貌似神离
含有未知数的等式叫做方程.使方程左、右两边的值相等的未知数的值(一个或几个或无数多个) 叫做方程的解。求得方程的解的过程叫做解方程.“方程的解”与“解方程”从字面上看相差无几 但其实质却完全不同 前者是指满足方程的未知数的值 是求得的结果;而后者是指求方程的解的过程。虽是同一个“解”字 前者是名词 后者是动词 真乃貌似神离.
检验一个数是不是某个方程的解时 不能直接将数代入方程中 而应分别代入方程的左边和右边 且左边和右边分别计算 看算出来的结果是否相等 最后作答.请看一看下面的检验是否正确:检验x=5 是不是方程5x 2=7x-8的解?
检验:把x=5代 入方程 得
5×5 2=7×5-8 27=27.∴x=5是此方程的解.这种检验方法是错误的 正确的方法是:x=5时 左边=5×5 2 =27 右边=7×5-8=27 左边=右边 所以x=5是方程的解。
例 根据下列条件列方程 并检验x=3是否为所列方程的解
万变不离其宗
方程ax b=0(a≠0)叫做一元一次方程的标准形式，方程ax=b(a≠0)称作一元一次方程的最简形式。我们所说的一元一次方程是指通过变形后能化为最简形式ax=b(a≠0)的方程。
如果两个方程的解相同，我们称这两个方程为同解方程。经过解一元一次方程的一般步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项，
系数化为1”，只要计算不出现错误，都是同解变形，求得的解就是原方程的解。
解一元一次方程的五步，每一步变形都不能出错，都应保证是同解变形，做到万变不离其宗，这个“宗”就是原方程，这样就保证了求出的未知数的值就是原方程的解。
例1 解方程ax=b
解①当a≠0时，方程的解为x=b/a
②当a=0时
若b≠0，方程无解；
若b=0，方程有无穷多解。
解这个最简单的一元一次方程ax=b的分类讨论，为今后有关的学习打好基础。请务必弄清楚。
去分母，得
40x 16-3（14-30x）=0，
去括号，得
40x 16-42 90x=0，
移项，得
40x 90x=42-16，
合并同类项，得
130x=26，
系数化为1，得
x=1/5
经检验，x=1/5是原方程的解。
这道题的解法过程中，用到两种类型的变形，应正确区别。一种是恒等变形，变形的实质是形变值不变，
前后保持恒等关系。恒等变形的依据是一些运算性质，公式、法则、运算律等。解方程中的去括号与合并同类项这两步属于这种变形。第二种是同解变形，变形的实质是形变解不变。如方程6X=4X-5，变形为6X-4X=-5，方程变形了，但是解未变，解都为X=-2又1/2。
从里向外与从外向里
解方程的5个步骤中，前4个步骤的目的就是要将方程化为最简形式。由于题目千变万化，我们应对具体题目做灵活安排，其宗旨是尽快得到 ax=b的形式。
从前英国牛津大学有一位数学家，大家都不知道他的原名查尔斯·路特维奇·道奇森（Charles Lutwidge Dodgson，英国数学家、逻辑学家、童话作家、牧师、摄影师）。他用刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll，1832-1898），的笔名所作童话《爱丽丝漫游奇境》（1865）与《爱丽丝镜中奇遇记》（1871）为其代表作品。他还写了很多非常有趣的科普读物，其中有一本《乱纷纷的结》，书中的每一章都叫做“绳结”，意即这些问题像绳结一样复杂难解，下面就是一个“绳结”的题目：
两个步行者正在急促的以每小时6公里的速度向山下走去，一个年轻人像羚羊似的边跳边走，他的同伴吃力地跟在后面。年轻人说，只怪我们上山的时候走得太慢了，每小时只走3公里，在平地的时候走得多快？他的同伴回答，在平路上每小时走4公里。年轻人说能赶得上回去吃晚饭吗？同伴说这要看我们了。我们3点钟出来，8点钟该我们回到旅馆的时候了，今天可真走了不少路。年轻人说，到底走了多少路呢？同伴不耐烦地说，你自己去想吧。
题目就是这样，似乎条件不充分，你能解开这个“绳结”吗？
设旅行者一共走过的路程为x公里，上坡或下坡走过的路程为 y公里。整个行程分为4段，走平路，上坡，下坡，再走平路。
这个难解的结就这样给解开了。
有些问题看起来似乎难解，设了两个未知数，而又只能列出一个方程。这时也不必慌张，也不一定解不出来，因为往往在题目的各种量的内在联系中，有一个未知数在变形中消失了，题目也就可解了。
朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。
两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。
唐朝开元年间，大诗人李白从四川白帝城出发，坐木船顺流东下，直到采石矶。一路上诗仙心情轻快，写下了上面这首千古绝唱。这次行程，他一共走了5天。
过了几天，他有事回四川去，也同样乘坐这只木船，一切条件都和上次一样，只不过这一次是逆流而上，他一共走了55天。
李白忽然想到一个问题，如果从白帝城放一只木排顺流而下，那么到达采石矶一共需要多少天呢？
假定木船的舟速与水流速度都是均匀的，你能替这位大诗人解答这个问题吗？
本题的解法很多，可以用代数方法，也可以用算术方法。涉及的量较多：舟速、流速还有白帝城到采石矶的路程等。
解 我们设舟速为x公里/天，流速为y公里/天，白帝城到采石矶路程为s公里。依题意得
答：放一只木排顺流而下，到达采石矶共需11天。
本题的解答值得注意，设了三个未知数，x、y和S，目的不是求出这三个未知数，而是求其中两个未知数之比s:y 。x，y，s都只起辅助元素的作用。
同解方程及方程的同解原理
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。在我们的课本上，是根据等式的性质对方程进行变形的，而实际上等式的性质，只能说明得到的仍是等式，不能说明所得方程的解就是原方程的解，因而需要检验。方程的同解原理，才是我们解方程的依据。课本上这一内容是在“读一读”的栏目中出现的。
方程同解原理1 方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程。
方程同解原理2 方程两边都乘以(或除以)同一个不等于0的数，所得方程与原方程是同解方程。
这两条同解原理，正好与等式的两条性质相对应，以至使有些人产生误解，以为两者是一样的，或以为后者是前者的推广。其实，同解原理并不是等式性质的推广，而是根据变形后所得方程与原方程的解是否相同。例如，在同解原理中，方程两边是不能同乘以0的，这与等式性质不同。因为一个方程两边同乘以0，得到0=0仍是等式，但它就无从谈什么方程的解了。按照课本上的五个步骤去解一元一次方程，实际上符合同解原理，故所得的最简方程ax=b与原方程同解。一般来说，如果没有错误，所得的解就是正确的，可以不检验，这就是为什么课本上又指出可以不检验的理由 。
甲乙两容器装有不同浓度的酒精溶液，分别是10升和20升，现从两容器中各取出相同的升数的溶液分别倒入对方容器中，搅匀后两容器中溶液浓度相等。求取出的溶液升数。
本题是一个浓度问题，已知量显得太少。浓度问题涉及到4个量：溶液，溶质，溶剂和浓度。本题甲乙两容器酒精溶液的浓度不同，设分别为M₁，M₂，这样就设了两个辅助元素。解 设取出的溶液升数为x，再设甲乙两容器的浓度分别为 M₁，M₂，依题意可得
设了两个辅助元素，M₁，M₂，列出方程后，此方程中既含有x又含有M₁，M₂，我们好像没有解出来的信心了，似乎到了山穷水尽疑无路的地步了，但是我们发现了由于M₁≠M₂，M₁-M₂≠0，从而可以约去它，于是得到一个很简单的一元一次方程，忽然呈现了柳暗花明又一村的景象。
最后让我们来欣赏一道苏联科普作家别莱利曼的一元一次方程应用题吧。题目是“跳舞晚会”。
题目取材自别莱利曼的著作《趣味代数学》。
科学尚未普及，媒体还需努力，感谢阅读，再见。
